\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Liban septembre 1951},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{septembre 1951}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit un segment [AB]tel que AB $= 2a$, de milieu O, et deux demi-droites A$x$ et B$y$ perpendiculaires à (AB) et d'un même côté.

On considère deux points variables M sur A$x$ et N sur B$y$.

On pose AM $= x$, BN $= y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si l'on a $x  + y = b$ \:($b$ constante), la
droite (MN) passe par un point fixe de la perpendiculaire en O à (AB).
\item On donne sur [AB] le point C (AC $= \dfrac a2$) et sur la
perpendiculaire en C à (AB) le point fixe P (CP $= a$).

Quelle relation existe-t-il entre $x$ et $y$ quand la droite (MN) varie en passant par P ?
\item Quelle relation doit lier $x$ et $y$ pour que les droites (OM) et (ON) soient rectangulaires ?

Montrer que, dans ce cas, la droite (MN) reste tangente au cercle de diamètre [AB].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soit un triangle ABC rectangle en A.

Sur les côtés de l'angle droit comme hypoténuses et vers l'extérieur du triangle ABC on construit les triangles rectangles isocèles ADB et AEC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les trois points D, A, E sont alignés.
\item Calculer l'aire du trapèze ECBD.

On donne AC $= c$, AB $= b$.
\item M étant le milieu de [BC], on trace les segments [MD] et [ME].

Trouver la valeur de l'angle $\widehat{\text{EMD}}$.

Comment sont disposées les droites (MD) et (ME) par rapport aux segments [AB] et [AC]  respectivement ?
\end{enumerate}
\end{document}