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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{septembre 1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban et Syrie septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Un triangle ABC a pour base BC $= a$ et pour hauteur correspondante AH $= h$.

Sur [AH] on considère un point I variable (AI $= x$) par lequel on mène la parallèle à (BC), qui coupe [AB] en M et [AC] en N ; on complète le rectangle MNPQ dont les sommets P et Q sont sur [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $x$ le périmètre $y$ du rectangle.

Entre quelles limites varie ce périmètre quand $x$ varie de 0  à $h$ ?

On donne $h > a$.
\item Représenter graphiquement les variations de $y$ en fonction de $x$.

Étudier le cas particulier où $a = h$.
\item Déterminer $x$ pour que le rectangle soit un carré.

Construire la figure correspondante dans le cas où
\[h = 2a.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un segment [AB] tel que AB $= 2a$, de milieu I et l'on
trace le demi-cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB].

Soit M un point variable de ce demi-cercle $\mathcal{C}$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les cercles $\mathcal{O}$ et $\mathcal{O}'$, de centres O et O$'$, tangents à (AB) le premier en A, le second en B et passant touts les deux par M.

Montrer qu'ils sont tangents entre eux en M.

Quelle est leur tangente commune en ce point ?
\item Construire le point M, sachant que l'un des cercles a un rayon double de l'autre.
\item Montrer que le produit des rayons des deux cercles est constant.

Construire la figure si l'on suppose maintenant connue la somme $p$ de ces deux rayons.

On pourra donner soit une solution algébrique soit une solution géométrique de cette dernière question.
\end{enumerate}
\end{document}