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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P. C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{juin 1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille juin  1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On considère l'expression
\[P = 4x^2 - 4x + 1 - 2x(2x - 1) + 18x^3- 9x^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'on peut mettre $2x - 1$ en facteur.

En déduire les racines de l'équation $P = 0$.
\item Montrer qu'on peut mettre de deux façons différentes $P$ sous la forme 
\[P = (2x - 1)y'y'',\]
$y'$ et $y''$ étant deux fonctions du premier degré en $x$ à coefficients entiers.

\item On obtient donc les deux formes 
\begin{center}$P = (2x - 1)y'y''$\qquad et \qquad $P = (2x - 1)y'_1y''_1.$\end{center}

Dessiner sur le même graphique les quatre droites représentant les variations des quatre fonctions $y', y' y'_1$ et $y''_1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle.

On prend sur le petit arc $\widearc{\text{BC}}$ un point M ; on trace [MA], qui coupe (BC) en D.

Soit E le point pris sur [MA] tel
que $\widehat{\text{MBE}} = 60\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le triangle MBE.

Lieu de E quand M décrit le petit arc $\widearc{\text{BC}}$.
\item Comparer les triangles BEA et BMC.

En déduire que MA = MB $+$ MC.
\item Démontrer que 
\begin{center}MB $\times$ MC= MD $\times$ MA.\end{center}

Pour quelle position de M a-t-on 
\begin{center}$\overline{\text{MB}}^2 =$ MD $\times$ MA .\end{center}

Quelle est alors la position de E ?
\end{enumerate}
\end{document}