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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lille juin 1960\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A.}

On donne les expressions algébriques

\begin{center}$T = (2 - 3y)^2- (1 + 2y)^2$ \quad et\quad  $Z = y^2 - 6y + 9$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer l'expression $T$ et ordonner le polynôme obtenu suivant les puissances décroissantes de $y$.
\item Mettre $T$ d'une part et $Z$ d'autre part sous la forme de produits de facteurs du premier degré.
\item La fraction rationnelle $U = \dfrac TZ$ peut-elle être simplifiée ?

Simplifier s'il y a lieu.

Que peut-on dire de la valeur numérique de $U$ et de la valeur numérique de la fraction simplifiée si l'on donne à $y$ la valeur $3$ ?

Calculer la valeur numérique de $U$ pour $y = \sqrt 2$.

Donner un résultat à dénominateur rationnel.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

Résoudre graphiquement le système d'équations 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
6y + 5x - 15 &=& 0,\\
y &=& - 3x - 3.
\end{array}\right.\]

\textbf{N. B. -} Les parties A et B sont indépendantes.

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un segment de droite [AB] de longueur $2 m$.

Du même côté de [AB], on trace deux demi-droites A$x$ et B$y$ perpendiculaires à [AB].

Une droite passant par le milieu O de [AB] coupe en C le prolongement de $x$A au-delà de A et en D la demi-droite B$y$.

La perpendiculaire en O à (CD) coupe A$x$ en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que $\widehat{\text{ACO}} = 60\degres$, calculer AC, OC, AE en fonction de $m$.
\item Montrer que (ED) est tangente au cercle de diamètre [AB] et que (AB) est tangente au cercle de diamètre [ED].
\item Soit F le point de tangence situé sur (ED).

Quelle est la nature du triangle AFB ?

Le point F se projette en I sur (AB) et (ED) coupe (AB) en K.

Démontrer que $\dfrac{\text{IA}}{\text{IB}} = \dfrac{\text{KA}}{\text{KB}}$ 
\end{enumerate}
\end{document}