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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1981}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Désirant louer une voiture, une personne a le choix entre deux systèmes différents:

\begin{itemize}
\item une première agence demande 1~F par kilomètre parcouru plus une somme fixe de $100$~F par jour ;
\item une deuxième agence demande $1,20$~F par kilomètre parcouru plus une somme fixe de $80$~F par jour.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer, en fonction du nombre $x$ de kilomètres parcourus, les sommes $y_1$, et $y_2$ à payer pour une journée dans chacun des deux cas.
\item Pour quel nombre de kilomètres $y_1$ et $y_2$ sont-elles égales ?

Préciser dans ce cas la valeur commune de $y_1$ et $y_2$
\item Dans le plan rapporté à un repère \Oij, construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives :

\begin{center}$x - y + 100 = 0$\quad  et \quad $1,2x - y + 80 = 0$.\end{center}

(On choisira $1$~cm pour représenter $10$~km sur l'axe des abscisses et $1$~cm pour représenter $20$~F sur l'axe des ordonnées.)

Pouvait-on prévoir les coordonnées de leur point d'intersection ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit un triangle équilatéral (A, B, C).

On suppose BC $=$ 6~cm. 

On appelle D le point teJ que $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{BC}}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que (A, B, C, D) est un losange et que les droites (AC) et (BD) sont orthogonales. 

Soit O le point commun à ces deux droites.
\item Soit E le symétrique de A par rapport à B. 

Montrer que le triangle (A, C, E) est rectangle et donner les mesures de chacun de ses côtés et de chacun de ses angles. 

Démontrer que (B, D, C, E) est un parallélogramme.
\item Soit M le milieu du segment [EC].

Montrer que le triangle (B, M, C) est rectangle ; en déduire que les quatre points O, B, M, C appartiennent à un même cercle. 

Soit O$'$ le centre de ce cercle. Montrer que O$'$ est le milieu du segment [ED].
\end{enumerate}
\end{document}