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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants. Les résultats seront donnés sous la forme d'une fraction irréductible.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{10}{7} \times \left(\dfrac34 - \dfrac25\right)$
\item $\left(\dfrac12 \times \dfrac43\right) : \dfrac56$
\item $\left|\dfrac13 - 1\right|$=
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Effectuer les calculs suivants. Les résultats seront donnés sous la forme : $a + b\sqrt 3$ où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\sqrt{75} - \sqrt 2 \times \sqrt 6$
\item $\dfrac{\sqrt 3 + 1}{\sqrt 3 - 1}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'équation : $2x + 1 = 4 - 3x.$
\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On pose 

\[A = \left(4x^2 - 1\right) + (2x - 1)(3x - 4),\]

$x$ étant un nombre réel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré en $x$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $x$ :\: $A = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par:

\[f(x) = -x + 4.\]

Dans un repère orthonormé \Oij, tracer la représentation graphique $(D)$ de $f$ puis sur la même figure représenter graphiquement l'ensemble $S$ des solutions du système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x +y -4&<& 0.\\
x &>&0.\\
y &>&0.
\end{array}\right.\]

(On hachurera les parties du plan qui ne conviennent pas.)

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous est un parallélogramme ABCD de centre O.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.4,3.4)
\psline(1.7,2.8)(8,2.8)(6.5,0.2)(0.2,0.2)(1.7,2.8)(6.5,0.2)%ABCDAC
\psline(8,2.8)(0.2,0.2)%BD
\uput[ul](1.7,2.8){A} \uput[ur](8,2.8){B} \uput[dr](6.5,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[u](4.1,1.5){O}

\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Parmi les quatre vecteurs suivants: $\vect{\text{0}};\: \vect{\text{AC}};\: \vect{\text{CA}};\: 2\vect{\text{AO}}$, quels sont les deux qui peuvent s'écrire: $\vect{\text{AB}} + \vect{\text{BC}}$ ?
\item Parmi les quatre vecteurs suivants: $\vect{\text{0}};\: \vect{\text{BC}};\: \vect{\text{AB}} ;\: \vect{\text{DO}} - \vect{\text{OA}}$ quels sont les deux qui peuvent s'écrire:  $\vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le solide représenté ci-dessous en perspective est un tétraèdre ABCD. 

L'unité utilisée est le centimètre.

On sait que : AB $= 3$, AD $= 5$, BC $= 5$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6,7.8)
%\psgrid
\psline(1.8,7.1)(0.2,0.2)(5.6,0.2)(1.8,7.1)(2.9,0.2)%DBCDI
\psline[linestyle=dashed](1.8,7.1)(1.8,2.3)(0.2,0.2)%DAB
\psline[linestyle=dashed](2.9,0.2)(1.8,2.3)(5.6,0.2)%IAC
\psline(1.8,2.55)(2,2.2)(2,1.88)
\psline(1.65,2)(1.95,1.9)(2.1,2.1)
\uput[ul](1.8,2.3){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](5.6,0.2){C} \uput[u](1.8,7.1){D} \uput[d](2.9,0.2){I}
\end{pspicture}
\end{center}

I est le milieu du segment [BC], les angles $\widehat{\text{BAC}}$ et $\widehat{\text{IAD}}$ sont droits.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance AC.
\item Calculer la distance AI.
\item Calculer la distance ID.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oij{}
placer les points A, B et C définis par leurs coordonnées :

\begin{center}A$(-5~;~0)$, B$(3~;~-4)$, C$(2~;~4)$.\end{center}

Soit L le milieu du segment [AC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances AC et BC.
Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ?
\item Démontrer que la droite (OC) est la médiatrice du segment [AB].
\item Déterminer une équation de la droite (OB).
\item Démontrer que les points L, O et B sont alignés.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Dans ce problème l'unité choisie est le centimètre.

La figure sera faite au fur et à mesure des questions posées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle ABC tel que: AB $= 8$, BC $= 10$, AC $= 6$.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item On appelle O le milieu du segment [BC] et $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre [BC].

Démontrer que A est un point du cercle $\mathcal{C}$.
\item On appelle I le milieu du segment [AC].

Démontrer que la droite (OI) est orthogonale à la droite (AC).
\item Calculer la distance OI.
\item La droite (OI) coupe le cercle $\mathcal{C}$ aux points T et T$'$. On appelle $(\Delta)$ la tangente au cercle $\mathcal{C}$ passant par le point T.

Démontrer que les droites (AC) et $(\Delta)$ sont parallèles. 
\item La droite $(\Delta)$  coupe la droite (BC) au point E.

Calculer, en justifiant, la valeur du rapport : $\dfrac{\text{OE}}{\text{OC}}$. 

En déduire la valeur de la distance OE.
\end{enumerate}
\end{document}