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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1994}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

Les trois exercices sont indépendants.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le gérant d'un magasin de vente par correspondance a relevé \np{1624} commandes passées par ses clients pendant le mois de décembre. Il obtient l'histogramme suivant :

\begin{center}
\psset{xunit=0.01cm,yunit=0.0125cm}
\begin{pspicture}(-60,-35)(800,600)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=58]{->}(0,0)(0,0)(800,600)
\uput[d](600,-30){Montant des commandes en francs}
\psframe(0,0)(100,58)
\psframe(100,0)(200,174)
\psframe(200,0)(300,580)
\psframe(300,0)(400,464)
\psframe(400,0)(500,232)
\psframe(500,0)(600,116)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Compléter le tableau et répondre aux questions suivantes:

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
\scriptsize Montant $m$ des commandes en F&$0 \leqslant m < 100$&$100 \leqslant m < 200$&$200 \leqslant m < 300$&$300 \leqslant m < 400$&$400 \leqslant m < 500$&$500 \leqslant m < 600$\\ \hline
\scriptsize Nombre de commandes&58	&174	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le nombre de commandes dont le montant est strictement inférieur à $300$~F est :
		
Réponse : \ldots \ldots
		\item Le nombre de commandes dont le montant est compris entre $100$ F et $500$ F (500 F non compris) est :
		
Réponse : \ldots \ldots
		\item Le nombre de commandes dont le montant est d'au moins $400$~F est :
		
Réponse : \ldots \ldots
\item Calculer le pourcentage des commandes dont le montant est compris entre $200$ F et $300$ F ($300$ F non compris)

Calcul: \ldots \ldots

Réponse : \ldots \ldots\,\%
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire $E$ sous la forme $a \sqrt 3$ où $a$ est un entier. 

\[E = \sqrt{300} - 2\sqrt{27}\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $G = (3x + 1)^12 + (3x + 1)(x- 2)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $G$.
\item Factoriser $G$.
\item Calculer la valeur de $G$ lorsque $x$ est égal à $\dfrac14$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

À l'occasion de soldes, un grand magasin annonce deux prix : l'un pour les disques laser et l'autre pour les cassettes vidéo.

Mickaël possède 400~F et Mélanie possède 250~F.

Mickaël achète un disque laser et trois cassettes vidéo . Il lui
reste alors 25F.

Il manque 50~F à Mélanie pour acheter deux disques laser et
une cassette vidéo.

Calculer le prix d'un disque laser et celui d'une cassette vidéo.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les deux triangles rectangles $T_1$ et $T_2$ sont superposables.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(10,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt]
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1,1)(5,4)
\uput[r](1,1){O$'$}\uput[dr](5,4){O}
\pspolygon[linewidth=1.25pt](5,4)(3,4)(3,7)
\pspolygon[linewidth=1.25pt](5,9)(8,9)(8,7)
\rput(3.5,4.5){$T_1$}\rput(7.5,8.5){$T_2$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En choisissant parmi les trois transformations suivantes :

\begin{itemize}
\item symétrie orthogonale ;
\item symétrie centrale ;
\item translation,
\end{itemize}

compléter la phrase : le triangle $T_1$ se transforme en le le triangle $T_2$ par une \ldots \ldots
\item Faire apparaître sur la figure :

\begin{itemize}
\item l'axe de symétrie s'il s'agit d'une symétrie orthogonale ; 
\item le centre de symétrie s'il s'agit d'une symétrie centrale;
\item le vecteur s'il s'agit d'une translation.
\end{itemize}
\item Construire l'image du triangle $T_1$, par la translation de vecteur $\vect{\text{OO}'}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3.7)
%\psgrid
\pspolygon(7.5,0.8)(9.1,0.8)(9.1,1.8)(8.2,1.8)(7.5,1.3)
\psarc[linewidth=2pt](7.8,0.6){0.2}{90}{270}
\psarc[linewidth=2pt](8.8,0.6){0.2}{-90}{90}
\pscircle(7.8,0.6){0.15}\pscircle(8.8,0.6){0.15}
\psline[linewidth=2pt](7.8,0.4)(8.8,0.4)
\psline[linewidth=2pt](7.8,0.8)(8.8,0.8)
\psline[linestyle=dashed](7.5,0.8)(3,0.8)(3,3.2)
\psline[linestyle=dashed](3,0.8)(3,0.4)
\psline[linewidth=1.5pt](3,3.2)(7.3,0.8)
\psline[linewidth=1.5pt](5.15,2)(8.6,2)(8.6,1.8)
\psline(7.3,0.4)(7.3,0.8)
\psframe(3,0.4)(3.15,0.55)
\psframe(7.3,0.4)(7.15,0.55)
\psline(0,0.4)(10,0.4)
\uput[u](7.3,0.8){A} \uput[d](3,0.4){S} \uput[d](7.3,0.4){B} \uput[l](3,0.8){C} \uput[ul](3,3.2){F}
\uput[r](0,3){AF = 16 m}
\uput[r](0,2.5){AB = 1 m}
\end{pspicture}
\end{center}

La longueur AF de la flèche de la grue est de 16 m. 

L'extrémité A de la flèche est à 1 m du sol.

La grue, lors d'un déplacement, doit passer sous un pont interdit aux engins de plus de $7$~m de hauteur.

L'angle $\widehat{\text{FAC}}$, déterminé par la flèche et l'horizontale, peut varier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la plus grande longueur possible de [FC] permettant à la grue de passer sous ce pont ?
\item Calculer dans ce cas la mesure de l'angle $\widehat{\text{FAC}}$.

On donnera la valeur arrondie de l'angle à 1 degré près.

On pourra utiliser l'extrait de table trigonométrique ci-après :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés&Sinus&Cosinus&Tangente\\ \hline
22 &0,375&0,927&0,404\\ \hline
23 & 0,391& 0,921& 0,424\\ \hline
24&0,407&0,914&0.445\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

%%fig
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-9)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-8.5)(10,10)
\psplot[plotpoints=500]{-1}{8}{0.25 x mul}
\psline(6,-7)(2,9)(8,2)(6,-7)(0,0)\pscircle(3,-3.5){4.61}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[u](2,9){A} 
\uput[dr](6,-7){B} \uput[ur](8,2){C} \uput[ur](4,1){K} 
\rput(4.5,-8.8){La figure n'est pas réalisée grandeur nature}
\end{pspicture}
\end{center}

Le plan est muni du repère orthonormal (O, I, J). L'unité est le centimètre.

On donne les points A de coordonnées (2~;~9), B de coordonnées $(6 ~;~-7)$ et C de coordonnées (8~;~2).

Le cercle de diamètre {OB] recoupe le segment {AB] au point K de coordonnées(4~;~1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir que la droite (OK) a pour équation $y = \dfrac14 x$ et en déduire que le point C appartient à la droite (OK).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point K est le milieu du segment [AB] et du segment [OC].
		\item Démontrer que les droites (OK) et (KB) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère OACB.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Construire le triangle ABC sachant que:

BC $= 8$ cm, \quad AB = 4,8 cm, \quad  AC = 6,4 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Placer sur le côté [BC] le point M tel que CM $= 5$ cm.

Tracer la droite passant par M et parallèle à la droite (AB). Elle coupe la droite (AC) en P{}.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le théorème de Thalès calculer CP puis MP.
		\item Quelle est la longueur du segment [MB] ?
		
En déduire la nature du triangle MBP.
	\end{enumerate}
		\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{BMP}}$ et $\widehat{\text{ABP}}$ sont égaux.
		\item Que représente la demi-droite [BP) pour l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ ? Justifier.
		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la longueur du segment [AP]?
		\item La droite passant par B et parallèle à la droite (AP) coupe la
droite (PM) en H.

Démontrer que le quadrilatère APHB est un rectangle.
		\item Que représente le segment [BH] pour le triangle MBP ?

Calculer l'aire de ce triangle,
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}