\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Lille septembre 1952},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{septembre 1952}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On représente par $2p$ la mesure en mètres du périmètre d'un triangle ABC dont les côtés, que l'on suppose inégaux, sont $a, \:b,\ c \:(a > b > c)$.

On précise que :

$\bullet~~$un triangle équilatéral de côté $c$ aurait un périmètre inférieur de $5$~m à celui de ABC ;

$\bullet~~$un triangle équilatéral de côté $a$ aurait un périmètre supérieur de $6$~m à celui de ABC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a, b, c$ en fonction de $p$.
\item Appliquer les résultats obtenus dans les cas suivants :

\begin{center}$p = 7$~m,\quad  $p = 6$~m,\quad  $p = 5$~m.\end{center}

Sont-ils valables dans tous les cas ?
\item Quelle est la plus petite valeur qu'on peut attribuer à $p$ pour que le triangle ABC existe ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle isocèle ABC où AB = AC.

On prolonge [AB] et [AC] respectivement en A$m$ et A$n$ au delà de A et l'on mène les bissectrices intérieures A$x$ et A$y$ des angles $\widehat{\text{BA}n}$ et $\widehat{\text{CA}m}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des demi-droites A$x$, \:A$y$ et de la
droite (BC) ?
\item On prend sur A$x$ un point P et sur A$y$ un point
Q tels que 
\begin{center}AP $\times$ AQ $= \overline{\text{AB}}^2$.\end{center} 

Comparer les triangles ABP{}, AQC et PQR, R étant l'intersection des droites
(BP) et (CQ).

Établir la relation qui existe entre l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ et $\widehat{\text{PRQ}}$.
\item Trouver le lieu de R quand P et Q décrivent respectivement A$x$ et A$y$ dans les conditions prévues au 2.

On dessinera ce lieu très exactement.
\end{enumerate}
\end{document}