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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Lille ~\decofourright\\[6pt]septembre 1971}\\[7pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\medskip



On considère les fonctions
\begin{center}$y_1 = f(x) = - \dfrac12 x + 2$ \quad et \quad $y_2 = g(x) =2x - 3$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de ces deux fonctions.
\item Les représenter sur un même graphique.
\item En utilisant ce graphique,
	\begin{enumerate}
		\item trouver le nombre $x_0$ pour lequel les deux fonctions prennent la même valeur numérique,
		\item trouver l'intervalle auquel appartient $x$ lorsque $y_1$ prend des valeurs supérieures à celles de $y_2$.
	\end{enumerate}
\item  On pose $y_3 = g(x) - f(x)$.

Dessiner sur le graphique précédent la ligne $(L)$ représentant la variation de la fonction $y_3$.

Retrouver, en considérant $(L)$, les résultats obtenus au 3.
\item Vérifier par le calcul les résultats obtenus au 3. 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

Soit un triangle (ABC) rectangle en A et tel que AB $= a$,\: AC $= 2a$.

En B, on mène la perpendiculaire à (CB), qui coupe le prolongement de [CA] en D.

Soit M le symétrique de D par rapport à B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles (ABD) et (ABC) sont semblables.

Calculer le rapport de similitude de (ABC) à (ABD), puis AD et DB en fonction de $a$.
\item Que peut-on dire du triangle (CDM) ?

Calculer CM en fonction de $a$.
\item Le cercle circonscrit au triangle (MBC) recoupe (AC) en P.

Où le centre, O, de ce cercle se trouve-t-il ?

Montrer que la droite (AB) est tangente en B à ce cercle.
\item Comparer BP et BM.

Calculer AP en fonction de $a$.
\item Calculer la puissance de D par rapport au cercle précédent de centre O.

Calculer le rayon de ce cercle et en déduire la distance DO en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}