\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{eucal} \usepackage{array} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.5cm, bottom=1.5cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{multicol} %\usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {Brevet des collèges}, %pdftitle = {Lille septembre 1990}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Diplôme national du brevet Collège} \lfoot{\small{Lille}} \rfoot{\small{septembre 1990}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille septembre 1990~\decofourright}}} \end{center} \bigskip \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Effectuer les calculs suivants. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. \begin{enumerate} \item $\dfrac34 - \dfrac12 + \dfrac{13}{12}$ ; \item $\dfrac38 \times \dfrac{16}{15}$ ; \item $\dfrac32 : \dfrac57$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Calculer : \[1,6 \times 10- 19 \times 6,02 \times 10^{23}.\] On donnera le résultat sous la forme $a \times 10^p$, \: $a$ étant un nombre décimal strictement compris entre 1 et 10, puis sous forme d'un nombre décimal. \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip Pierre a lancé 20 fois un dé à jouer (les faces du dé portent le nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6). Il a obtenu successivement \[2~;~4~;~6~;~3~;~1~;~6~;~5~;~6~;~3~;~2~;~6~;~2~;~1~;~3~;~2~;~6~;~2~;~5~;~3~;~2.\] \begin{enumerate} \item Tracer le diagramme des effectifs. \item Calculer la moyenne obtenue. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 4} \medskip L'aire d'un terrain est de \np{1600}~m$^2$. On a pu diviser ce terrain en trois parcelles carrées d'aires égales. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est l'aire d'une parcelle? (On donnera la réponse sous la forme d'une fraction.) \item En déduire la longueur du côté d'une parcelle. (On donnera la réponse sous la forme $\dfrac{a\sqrt 3}{b}$, \:$a$ et $b$ étant des nombres entiers.) \end{enumerate} \bigskip \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{minipage}{0.68\linewidth} Dans cet exercice l'unité utilisée est le centimètre. La figure ci-contre représente une pyramide régulière à base carrée ABCD, de sommet O et de hauteur [OH]. La droite (OH) est orthogonale à toutes les droites du plan qui contient le carré ABCD. Sachant que OH $= 12$ et que AH $= 5$, \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.28\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(3.5,4.8) \psline(1.7,4.4)(0.2,0.2)(2,0.2)(1.7,4.4)(3.2,1.6)(2,0.2)%OABOCB \psline[linestyle=dashed](1.7,0.9)(1.7,4.4)(1.4,1.6)(3.2,1.6)%HODC \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.4,1.6)%AD \uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](2,0.2){B} \uput[r](3.2,1.6){C} \uput[ul](1.4,1.6){D} \uput[u](1.7,4.4){O} \uput[d](1.7,0.9){H} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \item calculer la distance OA ; \item déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{HOA}}$ à 1 degré près. On pourra utiliser une calculatrice ou l'extrait de tables ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Angles &21$\degres$&22$\degres$&23$\degres$&24$\degres$&25$\degres$ \\ \hline Tangentes &0,384 &0,404 &0,424 &0,445 &0,466 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Sachant que l'aire du carré ABCD est $50$~cm$^2$, calculer le volume de la pyramide. \item Soit H$'$ le point du segment [OH] tel que la distance OH$'$ égale 4. On coupe la pyramide par le plan parallèle au plan de sa base passant par H$'$. Quel est le volume de la nouvelle pyramide de sommet O ainsi obtenue ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Dans un repère orthonormal les points, A, B et C ont pour coordonnées : \[\text{A}(- 4~;~-2)\:;\qquad \text{B}(- 1~;~2)\:;\qquad \text{C}(3~;~-1).\] \begin{enumerate} \item Calculer les distances AB, BC et AC. Justifier que le triangle ABC est rectangle isocèle. \item M désignant le milieu de [AC], calculer les coordonnées de M. \item Sans calculer leur équation, démontrer que la droite (BM) est perpendiculaire à la droite (AC). \item La droite (AB) a pour coefficient directeur $\dfrac43$ ; en déduire le coefficient directeur de la droite (BC) puis l'équation de la droite (BC). \end{enumerate} \bigskip \textbf{PROBLÈME \hfill \hfill 12 points} \medskip Soit un cercle de centre O et de rayon $4$~cm, [AB] un diamètre de ce cercle et C un point du cercle tel que AC $= 4$~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ACB est rectangle. \item Démontrer que le triangle ACO est équilatéral. \item Soit H le milieu du segment [CB]. Démontrer que la droite (OH) est parallèle à la droite (CA). Calculer la distance OH. \item I désignant le milieu du segment [AO], la droite (CI) recoupe le cercle au point D. Démontrer que le quadrilatère CADO est un losange. \item Démontrer que les points D, O et H sont alignés. \item Quelle est la nature du triangle CDB ? \item Soit la rotation de centre O, qui transforme le point C en D. Donner sans justification : \begin{enumerate} \item la mesure en degrés de l'angle de cette rotation; \item les images par cette rotation : \begin{itemize} \item du pointB, \item du point D, \item du point H, \item du cercle. \end{itemize} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}