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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small septembre 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\bigskip

\textbf{Les exercices suivants sont indépendants}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en donnant le résultat sous la forme d'une fraction la plus ,le possible.

(On laissera les différentes étapes du calcul sur la copie.)

\[A = \dfrac{\dfrac15}{\dfrac47} + 7\quad  \text{et}\quad  B = 2 \times \dfrac57 - 8.\]

\item Donner la valeur exacte de : 

\[A = 2x^2 - x - 1 \quad \text{pour}\quad x = \sqrt 5.\]

\item Écrire $\sqrt{12}  + 5\sqrt{27}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ ($a$ et $b$ étant des entiers).

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer puis réduire $A = (3x + 2)(4x - 5)$.
		\item Calculer la valeur de $A$ pour $x = \dfrac{-2}{3}$.
	\end{enumerate}
\item Le kilogramme de raisin d'Italie coûte $3$ F de moins que le kilogramme raisin muscat de France.

En achetant $3$ kg de raisin d'Italie et $2$ kg de muscat, madame Finbec a dépensé $46$ F{}.

Quel est le prix d'un kg de raisin de chaque sorte ?

\item Le graphique suivant illustre l'évolution de la population de la région Nord-Pas-de-Calais entre 1946 et 1990.

Sur l'axe des abscisses : 1 cm représente 4 ans.

Sur l'axe des ordonnées : 1 cm représente $0,1$ million d'habitants.

	\begin{enumerate}
		\item Quel était le nombre d'habitants du Nord-Pas-de-Calais en 1962 ?
		\item En quelle année y avait-il 3,9 millions d'habitants dans le Nord-
Pas-de-Calais?
		\item En 1990, il y avait \np{3966000}~habitants dans la région Nord-Pas-
de-Calais et \np{56625000}~habitants en France.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=8cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(52,1.1)
\multido{\n=0+4}{14}{\psline[linewidth=.2pt](\n,0)(\n,1.1)}
\multido{\n=0.0+0.1}{12}{\psline[linewidth=.2pt](0,\n)(52,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1946,Oy=3,Dx=4,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(52,1.1)
\pscurve(0,0.14)(4,.25)(8,0.28)(12,0.5)(16,0.65)(20,0.78)(24,0.85)(28,0.91)(32,0.93)(36,0.94)(40,0.95)(44,0.96)
\uput[r](0,1.07){\scriptsize Population de la région Nord-Pas-de-Calais}
\uput[r](0,1.02){\scriptsize en millions d'habitants}
\uput[u](50,0){\scriptsize Années}
\end{pspicture}
\end{center}

Calculer le pourcentage que représentait alors la population du Nord-Pas-de-Calais par rapport à la population française totale.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On veut installer des lampadaires le long d'une voie d'autoroute rectiligne.

Les ampoules seront situées exactement au-dessus de la ligne médiane, à 10 mètres de hauteur.

Allumées, elles produiront un cône de lumière ayant un angle au sommet de $50\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le rayon $R$ de la zone éclairée sur le sol par un lampadaire. (\textbf{Le résultat sera arrondi à $0,1$~m près.})
\item À quelle distance maximale faut-il disposer deux lampadaires voisins si l'on veut que la ligne médiane soit entièrement éclairée ?
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] II$' =$ HH$' =$ OO$'$
\item[$\bullet~$] $\widehat{\text{AOB}} = 50\degres$
\item[$\bullet~$] OH $= 10$ m 
\end{itemize}

On donne :

$\cos 25\degres \approx 0,906$ 

$\sin 25\degres \approx 0,423$ 

$\tan 25\degres \approx 0,466$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.62\linewidth}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(5.2,2.5)
\psline(0,0)(5.2,0)\psline(0,1.4)(5.2,1.4)
\psline[linestyle=dashed](0,0.7)(5.2,0.7)
\psline[linestyle=dashed](1.5,2.3)(1.5,0.7)
\psellipse(1.5,0.7)(0.6,0.45)
\psline[linestyle=dashed](0.9,0.8)(1.5,2.3)(2.1,0.8)
\uput[ur](1.5,2.3){O}
\psarc(1.5,2.3){0.4}{245}{295}
\psline[linewidth=2pt](1,1.4)(1,2.5)(1.5,2.5)(1.5,2.3)
\uput[ul](0.9,0.7){\footnotesize A}\uput[ur](2.1,0.7){\footnotesize B}\uput[d](1.5,0.7){\footnotesize H}
\uput[ul](1,1.4){\footnotesize I}
\psframe(1.5,0.7)(1.65,0.85)
\psline(1.5,0.7)(1.02,0.92)\uput[u](1.26,0.81){\footnotesize $R$}
%%%%%
\psline[linestyle=dashed](3.5,2.3)(3.5,0.7)
\psellipse(3.5,0.7)(0.6,0.45)
\psline[linestyle=dashed](2.9,0.8)(3.5,2.3)(4.1,0.8)
\uput[ur](3.5,2.3){O$'$}
\psarc(3.5,2.3){0.4}{245}{295}
\uput[ul](2.9,0.7){\footnotesize A$'$}\uput[ur](4.1,0.7){\footnotesize B$'$}\uput[d](3.5,0.7){\footnotesize H$'$}
\psline[linewidth=2pt](3,1.4)(3,2.5)(3.5,2.5)(3.5,2.3)
\uput[ul](3,1.4){\footnotesize I$'$}
\psframe(3.5,0.7)(3.65,0.85)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(4,3)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.3)(3.2,0.3)(2.2,2.8)%BCA
\psline(0.2,0.3)(2.7,1.55)%BI
\psline(2.2,2.8)(1.45,0.925)(1.2,0.3)%AJ
\uput[ul](2.2,2.8){A} \uput[l](0.2,0.3){B} \uput[r](3.2,0.3){C} \uput[ur](2.7,1.55){I} \uput[dr](1.45,0.925){J} \uput[dr](1.2,0.3){L}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]ABC est un triangle tel que AB =6,5; AC =5;BC =7,2.
\item[$\bullet~$]Le point 1 est le milieu du segment [AC) :
\item[$\bullet~$]Le point J est le milieu du segment [BI) et
\item[$\bullet~$]Le point K est le symétrique du point J par rapport au point I.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Donner sans justifier la valeur du rapport $\dfrac{\text{BJ}}{\text{BK}}$.
\item Démontrer que le quadrilatère AJCK est un parallélogramme.
\item La droite (AJ) coupe le segment [BC) en L. 

Pourquoi les droites (JL) et (KC) sont-elles parallèles ? 

Calculer BL.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Les constructions de cet exercice sont à faire à partir de la figure ci-dessous où ABCD est un carré et le point C est le milieu du segment [BF).

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]Construire le point E image du point C par la translation du
vecteur $\vect{\text{BD}}$.
\item[$\bullet~$]Construire le point G tel que $\vect{\text{BG}} = \vect{\text{CB}}$.
\item[$\bullet~$]Construire le point H tel que $\vect{\text{DH}} = \vect{\text{DC}} + \vect{\text{DF}}$.
\item[$\bullet~$]Recopier et compléter sans justifier les deux phrases suivantes:
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item Le symétrique du point B par rapport à la droite (AC) est : \ldots
\item Le symétrique du point B par rapport au point C est : \ldots
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(4,2.3)
\psframe(0.2,0.2)(1.9,1.9)%ADCB
\psline(1.9,1.9)(3.6,1.9)%CF
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[ul](0.2,1.9){B} \uput[u](1.9,1.9){C} \uput[dr](1.9,0.2){D} \uput[u](3.6,1.9){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\bigskip

La figure ci-dessous sera complétée au fur et à mesure du problème. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(11,7)
\multido{\n=-2+1}{14}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-3)(\n,7)}
\multido{\n=-1.5+1.0}{13}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-3)(\n,7)}
\multido{\n=-3+1}{11}{\psline[linewidth=0.6pt](-2,\n)(11,\n)}
\multido{\n=-2.5+1.0}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](-2,\n)(11,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-3)(11,7)
\psdots(0,0)(1,0)(0,1)(-1,3)(2,6)(10,-2)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}
\uput[ul](-1,3){A} \uput[ul](2,6){B} \uput[dr](10,-2){C}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI $=$ OJ $= 1 $~cm, on considère les points :

\[\text{A}(-1~;~3)\quad  \text{B}(2~;~6)\quad \text{C}(10~;~-2).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs exactes des distances AB, BC et AC.
		\item En déduire que le triangle ABC est rectangle en B.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation de la droite (AB) est $y = x + 4$.
		\item Calculer les coordonnées du point K milieu de [AC].
	\end{enumerate}	
\item Soit $(D)$ la droite d'équation $y = x - 4$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite (0).
		\item Démontrer que la droite $(D)$ passe par le point K.
		\item Démontrer que les droites $(D)$ et (AB) sont parallèles.
		
En déduire, sans calcul, que le point L, intersection des droites $(D)$ et (BC), est le milieu du segment [BC].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit K$'$ le symétrique du point K par rapport au point L. 
		
Démontrer que le quadrilatère BK$'$CK est un losange.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère BK$'$KA ?
		\item Démontrer que les quadrilatères BK$'$KA, BK$'$CK et le triangle ABC ont la même aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}