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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Lille}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Lille juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous la forme d'une fraction la plus simple possible : 

\[A = 2 - \dfrac32 ;\quad  B = \dfrac25 - \dfrac32 \times \dfrac35 ;\quad C = \dfrac{9}{24} : \dfrac{27}{36}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Ecrire $D$ sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des entiers, avec $b$ le plus petit possible.

\[D = 3 \sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt{180}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $E = (4x - 1)(5x - 3) - (4x- 1)$
\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $(4 x - 1)( x - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip


Il manque deux lames à un petit \og métallophone \fg : celle donnant le ré et celle donnant le si.

Les lames sont découpées dans une barre plate.

Les longueurs des lames et les notes correspondantes sont données dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note			&do	&ré	&mi	&fa	&sol&la	&si	&do\\ \hline
Longueur en mm	&124&	&110&107&101&95	&	&88\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La longueur totale des lames est égale à $832$ mm et la lame du ré a pour longueur $1,3$ fois celle du si.

Trouver les longueurs des lames correspondant aux notes ré et si.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un dessous-de-plat a la forme d'un rectangle, il est recouvert d'un carrelage comme le montre la figure.

\begin{center}
\psset{unit=7.5 mm}
\begin{pspicture}(10,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt]
%\def\moti{\pscustom[fillstyle=hlines]{\psline(0,0)(1,0)\psarc(1,0.5){0.5}{-90}{90}\psarc(1,1.5){0.5}{90}{270}}\psline(1,2)(0,2)(0,0)}
%\def\motib{\pscustom[fillstyle=hlines]{\psframe(0,0)(1,1)\pswedge(1,0.5){0.5}{-90}{90}\psframe(1,0)(0,2)}
%\rput(2,6){\motib}\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,7.5){0.5}{90}{270}} \rput(4,0){\motib}
%\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=white](5,1.5){0.5}{90}{270}}
\psarc(1,7.5){0.5}{-90}{90}\psarc(9,7.5){0.5}{-90}{90}\psarc(7,6.5){0.5}{-90}{90}\psarc(7,5.5){0.5}{-90}{90}\psarc(1,4.5){0.5}{-90}{90}\psarc(5,4.5){0.5}{-90}{90}\psarc(9,4.5){0.5}{-90}{90}
\psarc(1,3.5){0.5}{-90}{90}\psarc(5,3.5){0.5}{-90}{90}\psarc(5,5.5){0.5}{90}{270}\psarc(5,6.5){0.5}{90}{270}
\psarc(9,3.5){0.5}{-90}{90}
\psarc(3,2.5){0.5}{-90}{90}\psarc(7,2.5){0.5}{-90}{90}
\psarc(3,1.5){0.5}{-90}{90}\psarc(7,1.5){0.5}{-90}{90}
\psarc(1,0.5){0.5}{-90}{90}\psarc(9,0.5){0.5}{-90}{90}
\psarc(3,5.5){0.5}{-90}{90}
\rput(2.5,6.5){\textcircled{1}}
%%%%%% envers
\psarc(1,1.5){0.5}{90}{270}\psarc(1,2.5){0.5}{90}{270}\psarc(1,5.5){0.5}{90}{270}
\psarc(1,6.5){0.5}{90}{270}
\psarc(3,0.5){0.5}{90}{270}\psarc(3,3.5){0.5}{90}{270}\psarc(3,4.5){0.5}{90}{270}
\psarc(5,2.5){0.5}{90}{270}\psarc(5,4.5){0.5}{-90}{90}\psarc(5,7.5){0.5}{-90}{90}
\psarc(7,0.5){0.5}{90}{270}
\psarc(7,7.5){0.5}{90}{270}\psarc(7,3.5){0.5}{90}{270}\psarc(7,4.5){0.5}{90}{270}
\psarc(9,1.5){0.5}{90}{270}\psarc(9,2.5){0.5}{90}{270}\psarc(9,5.5){0.5}{90}{270}
\psarc(9,6.5){0.5}{90}{270}
\rput(4.5,0.5){\textcircled{5}}
\psframe[fillstyle=hlines](2,6)(3,8)\pswedge[fillstyle=hlines](3,6.5){0.5}{-90}{90}\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=white](3,7.5){0.5}{90}{270}
\psframe[fillstyle=hlines](4,0)(5,2)\pswedge[fillstyle=hlines](5,0.5){0.5}{-90}{90}\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=white](5,1.5){0.5}{90}{270}
\uput[u](3,8){B}\uput[u](4,8){O}\uput[ur](3,7){C}\uput[dl](4,6){G}\uput[ur](7,4){F}
\uput[ur](5,1){H}
\end{pspicture}
\end{center}%fig

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer l'image du motif \textcircled{1} dans la symétrie d'axe (OG). L’appeler \textcircled{2}.
		\item Hachurer l'image du motif \textcircled{1} dans la translation de vecteur $\vect{\text{BF}}$. L’appeler \textcircled{3}.
		\item Hachurer l'image du motif \textcircled{1} dans la symétrie centrale de centre C. L’appeler \textcircled{4}.
	\end{enumerate}	
\item Par quelle translation le motif \textcircled{1} a-t-il pour image le motif \textcircled{5} ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.72\linewidth}


Soit IJK un triangle rectangle en I tel que IJ $= 3,6$ cm et 
IK $= 4,8$~cm.

On place le point L de la demi-droite [KI) tel que KL $= 8$ cm.

La parallèle à la droite (IJ) passant par L coupe (KJ) en M.

\emph{La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur, elle n’est pas à reproduire.}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.23\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(2.8,3)
\pspolygon(0.2,0.2)(2.4,0.2)(0.2,2.9)%LMK
\psline(0.2,1.2)(1.6,1.2)%IJ
\psframe(0.2,1.2)(0.4,1.4)
\uput[l](0.2,0.2){L} \uput[r](2.4,0.2){M} \uput[l](0.2,2.9){K} \uput[l](0.2,1.2){I} \uput[r](1.6,1.2){J}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que KJ $= 6$ cm.
\item Calculer la valeur de KM, en justifiant la réponse.
\item Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{\text{IKJ}}$ à 1 degré près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un cornet de glace appelé \og petit cône \fg{} a la forme d'un cône de hauteur SO $= 10$ cm, de rayon de disque de base OA $= 3$ cm.

La représentation en perspective est donnée ci-contre.

\begin{minipage}{0.54\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le volume exact de glace contenue dans le \og petit cône\fg (celui-ci étant rempli) est $30\pi$ cm$^3$.
\item Pour l'été, l'entreprise décide de fabriquer des \og grands cônes \fg{}, la hauteur d'un \og grand cône \fg{} étant de $12$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Le \og grand cône \fg{} étant un agrandissement du \og petit cône \fg, calculer l'échelle d'agrandissement.
		\item En déduire que le volume du \og grand cône \fg{} est $51,84\pi$ cm$^3$.
		\item Quelle quantité de glace supplémentaire a-t-on lorsqu'on achète un \og  grand cône\fg{} plutôt qu'un \og petit cône \fg{} ?
		
On donnera la valeur exacte du résultat puis une valeur approchée à 1 centilitre prés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(4.5,7.5)
%\psgrid
\psellipse(2,6.5)(1,0.25)
\psline[linestyle=dashed](2,6.5)(2,4.5)
\psline(1,6.5)(2,4.5)(3,6.5)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.5,4.5)(0.5,6.5)\rput{90}(0.2,5.5){10cm}
\psline(2,6.5)(1.4,6.7)%OA
\uput[r](2,6.5){O}\uput[ul](1.4,6.7){A}\uput[dl](1.7,6.6){3}
\uput[d](2,4.5){S}
%%
\psellipse(2,3.5)(1.1,0.4)
\psline[linestyle=dashed](2,3.5)(2,0.5)
\psline(0.9,3.5)(2,0.5)(3.1,3.5)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.5,3.5)(0.5,0.5)\rput{90}(0.2,2){grand cône}\rput{90}(0.8,2){12 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3.2,3.)(3.2,0.5)\rput{90}(3,2){10cm}\rput{90}(3.5,2){petit cône}
\psellipticarc(2,3)(0.9,0.35){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](2,3)(0.9,0.35){0}{180}
\uput[r](2,3){O}\uput[r](2,3.5){O$'$}
\uput[d](2,0.5){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Un club édite un magazine \og jeunesse \fg{} qui paraît chaque lundi. Il propose deux tarifs :
\begin{description}
\item[ ] tarif 1 : pour les non-adhérents, $15$ francs par magazine acheté.
\item[ ] tarif 2 : pour les adhérents, une cotisation annuelle de $150$ francs, chaque magazine est alors payé $10$ francs.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour chacun des tarifs, calculer le prix payé pour 10 magazines, puis pour 50 magazines.
Les résultats seront regroupés dans le tableau ci-dessous.
\item Jean apprécie ce magazine et l'achète quelquefois.
On appelle $x$ le nombre des magazines \og jeunesse \fg{} que Jean achète dans une année.
	\begin{enumerate}
		\item $P_1$ est le prix payé s’il choisit le tarif 1. Exprimer $P_1$ en fonction de $x$.
		\item $P_2$ est le prix payé s’il choisit le tarif 2. Exprimer $P_2$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal dont l'origine O est placée en bas et à gauche d'une feuille de papier millimétré.

En abscisse, 1 cm représente $5$ magazines, et en ordonnée, 1 cm représente $50$ F{}.

Tracer les droites suivantes : $d_1$ d'équation $y = 15x$ ;
$d_2$ d'équation $y = 10x+150$.
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique et indiquer sur celui-ci la justification de vos réponses (par des pointillés ou autres).
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le tarif le plus avantageux s’il achète $20$ magazines ?
		\item Quel prix Jean va-t-il payer s’il achète $25$ magazines avec le tarif 2 ?
		\item Jean dispose de $600$ francs. Quel est le plus grand nombre de magazines qu'il peut acheter?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation suivante : $15x > 10x + 150$.
		\item Interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}