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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small septembre 1997}
\lfoot{\small Lille}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Lille septembre 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible:

\[A = \dfrac75 -  \dfrac45 \times  \dfrac37 ; \qquad . B = \left( \dfrac13\right)^2 :  \dfrac16.\]

\item Écrire sous la forme $a\sqrt b$  où $a$ et $b$ sont des entiers, avec $b$ le plus petit possible:

\[C = 2\sqrt{500} - 3\sqrt{25} - 3\sqrt{5}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$D = (x + 2)(3x - 1) + 9x^2 - 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $9x^2 - 1$, puis factoriser $D$.
\item  Calculer $D$ pour $x =-1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une enquête, portant sur l'orientation, a été réalisée auprès d'une classe de 3\up{e} de 24 élèves.

La répartition est partiellement donnée dans le tableau ci-joint.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\footnotesize 2\up{de} générale et technologique&\footnotesize 2\up{de} spécifique&\footnotesize 2\up{de} professionnelle&\footnotesize Apprentissage&\footnotesize Total\\ \hline
Nombre d'élèves&9 &6 &3 &6 &24\\ \hline
Pourcentage en \,\%&&&&& 100\\ \hline
Angle en degré&&&&& $360\degres$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,4)
%\psgrid
\pscircle(4.25,2){1.9}
\rput(1,3){2\up{de} professionnelle}\rput(7.2,3){Apprentissage}
\rput(1,1){2\up{de} spécifique} \rput(7,1){2\up{de} générale}
\rput(7,0.4){ et technologique}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau.
\item Compléter le diagramme circulaire illustrant cette répartition.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Jean achète 4 petits pains au chocolat et 2 croissants ; il paie 25 francs. 

Odette achète, à la même boulangerie, 1 petit pain au chocolat et 3 croissants, elle paie 15 francs.

On appelle: $x$ le prix d'un petit pain au chocolat, $y$ le prix d'un croissant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le système d'équations traduisant cet énoncé.
\item Résoudre le système. En déduire le prix d'un petit pain au chocolat et celui d'un croissant.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère A, B, C, D, E, F, G sept points placés comme l'indique la figure ci-dessous.

En utilisant les sept points donnés, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(13,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange]
\psdots(2,8)(5,9)(6,6)(9,7)(10,5)(7,4)(7,3)%BADCEFG
\uput[ul](2,8){B} \uput[ul](5,9){A} \uput[ul](6,6){D} \uput[ul](9,7){C}
\uput[ul](10,5){E} \uput[ul](7,4){F} \uput[ul](7,3){G}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de E dans la translation de vecteur $\vect{\text{CD}}$ ?
\item Citer un vecteur égal à $\vect{\text{AC}}$ et un vecteur égal à $\vect{\text{AD}}$.
\item Citer un vecteur égal à $\vect{\text{BA}} +  \vect{\text{BD}}$.
\end{enumerate}
%fig

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
La figure ci-dessous n'est pas à reproduire.

B est un point du segment [AC]

D est un point du segment [AE]

D est un point du cercle de diamètre [AB]

E est un point du cercle de diamètre [AC] et F est un point du segment [EC].
 
Les segments [AF] et [BD] se coupent en G.

AB $= 6,5$ cm; AC $= 9,1$ cm ;

BD = 3,3 cm et CF =2,B cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
%\psgrid
\pscircle(0,0){2}\pscircle(-0.6,0){1.4}
\pspolygon(-2,0)(1.2,1.6)(2,0)
\psline(0.24,1.13)(0.8,0)
\psline(-2,0)(1.6,0.8)
\uput[l](-2,0){A} \uput[dl](0.8,0){B} \uput[r](2,0){C} \uput[u](0.24,1.13){D}
\uput[u](1.2,1.6){E} \uput[dl](1.6,0.8){F} \uput[dl](0.52,0.57){G}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ABD et ACE sont rectangles.
\item Prouver que AD $= 5,6$ cm.
\item Démontrer que les droites (BD) et (CE) sont parallèles.
\item Justifier que BG $= 2$ cm.
\item En déduire l'aire du triangle ABG.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

ABCDEF est un prisme droit dont les bases sont les triangles ABC et DEF.

 Le triangle ABC est rectangle en A et le triangle DEF est rectangle en F. 

À l'intérieur de ce prisme, on a découpé une pyramide ADEF. 

On sait que FD = 3,2 cm et EF = 2,4 cm et que le volume de la pyramide ADEF est 6,4 cm$^3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir que AF =5 cm.
\item Déterminer l'angle FÂÈ.
\item Dessiner le patron du prisme ABCDEF (sans effectuer de calcul).
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5.4)
%\psgrid
\pspolygon(1.6,1.4)(3,0.9)(3,3.7)(2.5,4.6)(1.6,4.2)(1.6,1.8)
\psline(3,3.7)(1.6,4.2)
\psline[linestyle=dashed](2.5,4.6)(2.5,1.8)(1.6,1.4)
\psline[linestyle=dashed](2.5,1.8)(3,0.9)
\psline(3,0.9)(1.6,4.2)
%\psline(0.24,1.13)(0.8,0)
%\psline(-2,0)(1.6,0.8)
\uput[l](1.6,4.2){A} \uput[ur](3,3.7){B} \uput[u](2.5,4.6){C} \uput[d](2.5,1.8){D}
\uput[r](3,0.9){E} \uput[l](1.6,1.4){F}
\rput(2.5,0.2){\footnotesize aperçu du prisme en perspective}
%%%%%
\pspolygon(5.6,0.6)(7.4,0.6)(7.4,3.3)(5.6,4.2)
\psline(5.6,3.3)(7.4,3.3)
\uput[l](5.6,3.3){A} \uput[ul](5.6,4.2){B} \uput[r](7.4,3.3){C} \uput[r](7.4,0.6){D}
\uput[l](5.6,0.6){F}
\rput(6.5,0.2){\footnotesize début du patron}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

La figure du problème est à compléter au fur et à mesure.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.6,4.8)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(2,0.2)(0.2,4.7)%BAC
\uput[r](2,0.2){A} \uput[l](0.2,0.2){B} \uput[u](0.2,4.7){C}
\end{pspicture}
\end{center}

L'unité de longueur est le centimètre. 

Dans le triangle ABC, on a :

AB $= 5$,\quad   BC $= 12$ et AC $= 13$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle en B.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{B}}$, elle coupe (AC) en E.
		\item Par le point E, on trace la perpendiculaire à la droite (AB). Elle coupe le segment [AB] en F.
		
Démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
		\item Donner la mesure des angles du triangle BEF et en déduire que BF = EF.
	\end{enumerate}
\item On pose AF $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Dans le triangle ABC, démontrer que: EF $= \dfrac{12}{5} x$.
		\item Justifier que BF $= 5 - x$.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la question 2. c. , déduire que: $\dfrac{12}{5} x = 5 - x$.
		\item Résoudre l'équation précédente. Donner la valeur de $x$ sous forme d'une
fraction.
		\item En déduire la valeur exacte de BF{}.
		\item Calculer la valeur exacte de BE.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}