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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1983}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'application $f$, de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = 4x^2 - 25 - (9 - x)(2x - 5).\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f(-2),\: f\left(\dfrac43\right)$ et $f\left(1 + \sqrt 2\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R \times \R$, le système
d'équations

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + y - 3&=&0\\
-3x + 2y + 1&=&0.
\end{array}\right.\]

\item Dans un plan rapporté à un repère \Oij{} construire les droites $D$ et $D'$ d'équations respectives 

\begin{center}$2x + y - 3 = 0$\quad et \quad $- 3x + 2y + 1 = 0$.\end{center}

Interpréter graphiquement le résultat trouvé en B 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur adoptée est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points A, B, C, et E définis par leurs coordonnées

\begin{center}A$(4~;~-2)$,\quad B(1~;~7), \quad C$(-5~;~-5)$ \quad et \quad E$(-2~;~-4)$.\end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}}, \vect{\text{BC}}$.
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont
orthogonaux.
		\item Montrer que les points A, E, C, sont alignés.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point D défini par

\[\vect{\text{OD}}= -2\vect{\text{OA}}.\]

		\item Montrer que (A, B, D, C) est un parallélogramme et déterminer les coordonnées de son centre K.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances $d$(A, B) et $d$(A, C).
		\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, D, C) ?
		
(Justifier la réponse.)
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La parallèle à la droite (DE) passant par K coupe la droite (AC) en H.

Montrer que H est le milieu du segment [AE].
		\item Montrer que les droites (OH) et (CD) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}