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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1967}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1967 \decofourright}}

\vspace{1cm}

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Soit l'expression 
\[E(x) = (x - 3)^2 - (5x + 2)(x - 3).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $E(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné, puis calculer la valeur numérique de $E(x)$ dans le cas où $x = \sqrt 2 + 1$.

(On donnera d'abord la valeur numérique exacte, puis une valeur approchée à 0,01 près.)
\item Mettre $E(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré, puis résoudre l'équation $E(x) = 0$ dans chacun des cas suivants:
	\begin{enumerate}
		\item $x$ est un nombre qui appartient à l'ensemble des relatifs entiers ;
		\item $x$ est un nombre qui appartient à l'ensemble des relatifs rationnels.
	\end{enumerate}
\item On considère les fractions $\dfrac{E(x)}{x - 3}$ et $\dfrac{E(x)}{-4x - 5}$
($x$ est un nombre relatif).
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier ces fractions ; on appellera $F$ la forme simplifiée de la première et $F'(x)$ la forme simplifiée de la deuxième.
		\item Construire les graphes des fonctions $y = F(x)$ et
$y = F'(x)$.
		\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle $F(x) = F'(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Un segment [BC], de support $xy$, a une longueur de 10~cm.

Un point A est tel que AB $= 6$~cm et AC $= 8$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item H étant la projection du point A sur $xy$, calculer la mesure des segments [AH] et [BH].
\item K étant le point de $xy$ tel que B soit le milieu du segment [KH], calculer, à 0,01 près par défaut, la mesure du segment [AK], puis déterminer, à $1\degres$ près, la mesure
de l'angle $\widehat{\text{AKB}}$, sachant que:
\[\begin{array}{l l l}
\sin 31\degres = 0,51...,& \sin 33\degres = 0,54...,& \sin 35\degres = 0,57... ,\\
\sin 32\degres = 0,52...,& \sin 34\degres = 0,55...,& \sin 36\degres = 0,58...
\end{array}\]

\item Dans le demi-plan de frontière $xy$ qui contient A, on mène la demi-droite [C$z$) perpendiculaire à (BC).

Un point P du segment [HC] et un point Q de la demi-droite [C$z$) sont tels que (PQ) est perpendiculaire à (PA).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les triangles APH et PQC sont semblables.
		\item M étant la projection du point P sur le segment [AQ], montrer que les quadrilatères AHPM et QMPC sont inscriptibles, puis établir que le triangle HMC est rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{N. B. -} La 4\up{e} question est indépendante des trois premières.
\end{document}