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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1985}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par


\[f(x) = (3x - 1)^2 + (6x - 2)(x + 2)- \left(9x^2 - 1\right).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Calculer $f\left(1 - \sqrt 3\right)$.
		
Sachant que $1,732 < \sqrt 3\ < 1,733$, déterminer un encadrement de $f\left(1 - \sqrt 3\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} construire:
\begin{itemize}
\item la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y = 3x - 1$ ;
\item la droite $\left(D_2\right)$ d'équation $y = 2x + 2$.
\end{itemize}
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
		
Vérifier ce résultat sur le graphique.
		\item Résoudre graphiquement dans $\R \times \R$ le système d'inéquations

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x - y-1 &<&0\\
2x- y + 2 &>&0
\end{array}\right.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij, l'unité de longueur étant le centimètre, placer les points :

\begin{center} A(7~;~1) ;\qquad B(8~;~4) ; \qquad  C$(- 1~;~7)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances :
		
\begin{center} $d$(A, B); $d$(8, C) ; $d$(A, C).\end{center}

		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}	
\item Calculer les coordonnées du point E milieu de (A, C).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D symétrique de B par
rapport à E.
		\item Déterminer les coordonnées du point D par le calcul.

		\item Quelle est la nature de (A, B, C, D) ? Justifier la réponse.
		
En déduire que les points A, B, C, D appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les droites (OE) et (AC) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{document}