\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Limoges juin 1988},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1988}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $g$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par

\[g(x) = (2x - 3)^2 - (1 - 2x)(6 - 2x).\]

Développer, réduire et ordonner $g(x)$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire sous la forme $a + b\sqrt 5$ \:($a \in \Z,\: b \in \Z$) :

\[A = 2 \sqrt{45} + \sqrt{225} - \sqrt{20} + \sqrt{125}, \qquad . B = \dfrac{8}{\sqrt 5 - 3}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Deux entiers $m$ et $p$ sont tels que $m^2- p^2 = 304$ et $m + p = 38$.

Calculer $(m - p)$ puis $m$ et $p$.

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABC étant un triangle rectangle en A, construire D et E
images respectives de B et C par la symétrie de centre A.

Démontrer que BCDE est un losange.


\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La pyramide ci-après a une base BCDE, carrée, de $6$ cm de côté et de centre O.

Ses autres faces sont des triangles équilatéraux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BD puis BO.
\item Prouver que le triangle ABD est isocèle.
\item Justifier l'égalité AB$^2$ + AD$^2$ = BE$^2$ + ED$^2$.

En déduire que le triangle BAD est rectangle en A.
\item Quelle est la hauteur OA de la pyramide ?
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,4.4)
\psline(3.3,4.2)(0.2,0.2)(4.9,0.2)(3.3,4.2)(6.5,2.1)(4.9,0.2)%ABEADE
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.8,2.1)(6.5,2.1)%BCD
\psline[linestyle=dashed](4.9,0.2)(1.8,2.1)(3.3,4.2)(3.3,1.15)%ECAO
\uput[u](3.3,4.2){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[ul](1.8,2.1){C} \uput[ur](6.5,2.1){D}
\uput[dr](4.9,0.2){E} \uput[d](3.35,1.15){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormal \Oij,
(unité : 1~cm), on considère la droite $(d)$ d'équation :

\[3x - 2y + 6 = 0.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit les points R(1~;~4,5);\quad S(2~;~2);\quad T$(-4~;~-3)$;\quad U$(-5~;~-0,5)$.
	\begin{enumerate}
		\item Chacun de ces points appartient-il à la droite $(d)$ ? Justifier la réponse.
		\item Placer ces points dans le repère et construire la droite $(d)$.
		\item Calculer les coordonnées du milieu 1 du segment [RT] et du milieu K du segment [US]. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère RSTU ?
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{RS}}$.
		\item Soit E le point image du point T par la translation de
vecteur $\vect{\text{RS}}$.
		\begin{enumerate}
			\item Calculer les coordonnées de E.
			\item Placer ce point dans le repère.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\end{document}