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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1994}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$x$ désigne un nombre positif ; refaire et compléter le tableau, en donnant les valeurs sous forme de fractions irréductibles.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$			&$- \dfrac{9}{25}$	&					&\\ \hline
$\sqrt{x}$	&					&$\dfrac{7}{2}$		&\\ \hline
$x^2$		&					&					&$\dfrac{16}{81}$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : $A = (x - 2)(3x +1) - (x - 2)(x + 6)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation: $(x - 2)(2x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

L'histogramme ci-dessous donne les résultats des élèves des classes de troisième d'un collège à un contrôle commun de mathématiques.

L'effectif total est de 300.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(12,50)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(12,50)
\psframe[fillstyle=vlines](0,0)(2,17)
\psframe[fillstyle=vlines](2,0)(4,28)
\psframe[fillstyle=vlines](4,0)(6,26)
\psframe[fillstyle=vlines](6,0)(8,17)
\psframe[fillstyle=vlines](8,0)(10,12)
\uput[l](0,10){10\,\%}
\uput[l](0,20){20\,\%}
\uput[l](0,30){30\,\%}
\uput[r](0,47.8){Fréquence en pourcentages}
\uput[d](11,0){notes $x$}
\uput[u](1,17){17\,\%}\uput[u](3,28){28\,\%}
\uput[u](5,26){26\,\%}\uput[u](7,17){17\,\%}
\uput[u](9,12){12\,\%}
\uput[d](1,0){$0 \leqslant x \leqslant 4$} \uput[d](3,0){$4 < x \leqslant 8$} 
\uput[d](5,0){$8 < x \leqslant 12$} \uput[d](7,0){$12 < x \leqslant 16$} 
\uput[d](9,0){$16 < x \leqslant 20$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter ces données par un diagramme circulaire. On
fera apparaître le calcul des angles.
\item Déterminer le nombre d'élèves ayant eu une note inférieure ou égale à 8.
\end{enumerate}

Fréquences en pourcentages

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en A tel que : BC $= 5$ cm et AC $= 4$ cm.

Démontrer que : AB $= 3$ cm.
\item On choisit sur le segment (AC] le point M tel que :

AM $= 1$ cm. Par M on trace la perpendiculaire à la droite (AC) ; cette perpendiculaire coupe (BC) en N.

Démontrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèLes.
\item Calculer CN et MN.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un rectangle ABCD teL que: AB = DC $= 4$ cm ; AD = BC $= 2$ cm.
\item Construire l'image de ABCD par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. 

On notera (1) la figure ainsi obtenue.
\item Construire l'image de ABCD par la symétrie centrale de centre D.

On notera (2) la figure ainsi obtenue.
\item Construire l'image de ABCD par la rotation de centre A et d'angle $90\degres$ dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. 

On notera (3) La figure ainsi obtenue.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Dans le cube ci-contre de 12 cm d'arête, déterminer la longueur exacte de la diagonale [AG].
\item On considère un cône ayant même volume que ce cube et dont la base est un disque de rayon $15$~cm.

Combien mesure la hauteur de ce cône ?

(Donner le résultat arrondi au millimètre).
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.1,4.1)
\psframe(0.2,0.2)(3.1,3.1)
\psline(3.1,0.2)(3.9,1)(3.9,3.9)(3.1,3.1)
\psline(3.9,3.9)(1,3.9)(0.2,3.1)
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1,1)(1,3.9)
\psline[linestyle=dashed](1,1)(3.9,1)
\uput[l](0.2,3.1){A} \uput[r](3.1,3.1){B} \uput[u](3.9,3.9){C} \uput[u](1,3.9){D} 
\uput[dl](0.2,0.2){E} \uput[d](3.1,0.2){F} \uput[dr](3.9,1){G} \uput[ur](1,1){H} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; I, J), unité de longueur: le centimètre).


\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points E, F et G définis par leurs coordonnées:

E$(-2~;~2)$ ; F$(-3~;~-2)$ ; G$(6~;~0)$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (EF).
		\item Calculer Le coefficient directeur de la droite (EG).
		\item Démontrer alors que les droites (EF) et (EG) sont perpendiculaires.
		\item Montrer que le point M $(1~;~-1)$ est le milieu du segment {FG}.
	\end{enumerate}	
\item On désigne par C le cercle circonscrit au triangle EFG. Quel est son centre? Donner la valeur exacte de son rayon.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les vaLeurs exactes des longueurs EF et EG.
		\item On pose $\widehat{\text{EFG}} = \alpha$ (l'unité choisie étant le degré).
		
Calculer $\tan \alpha$ et encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
