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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Limoges}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Limoges ~\decofourright\\[6pt]septembre 1971}\\[7pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne les fractions rationnelles suivantes 
\begin{center} $E(x) = \dfrac{49x - 4x^2}{2x^2 + 7x}$\qquad  et \qquad $F(x) = \dfrac{x^2 - 12x + 36}{2x- 12}$.\end{center}

Indiquer l'ensemble de définition de chacune de ces fractions, puis les simplifier.

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $E(x) = F(x)$ ?
\item Tracer, par rapport à un repère orthonormé, les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ dont les équations respectives sont
\begin{center}$y_1 = -2x + 7$ \quad et \quad $y_2 = \dfrac12x - 3$.\end{center}

Retrouver sur le graphique la valeur de $x$ pour laquelle $E(x) = F(x)$.
\item Les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ se coupent en A.

Elles coupent l'axe des $y$ respectivement en B et en C.

Calculer les coordonnées des points A, B et C et vérifier que le triangle (ABC) est rectangle en A.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

Soit un triangle (ABC) rectangle en C et H le pied de la hauteur relative à l'hypoténuse [AB] ; les segments [AB] et [AH] mesurent respectivement 9 cm et 3 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments [AC], [BC] et [CH].
\item Une droite quelconque $(\Delta)$ contenant le point A coupe la droite (CH) en E et le cercle circonscrit au triangle (ABC) en D.

Montrer que le quadrilatère (HBDE) est inscriptible et tracer le cercle circonscrit à ce quadrilatère.
\item Démontrer les égalités suivantes: 
\[\text{AC}^2 = \text{AE} \cdot \text{AD} = \text{AH} \cdot \text{AB}.\]
\item Soit T et T$'$ les points de contact des tangentes menées de A au cercle circonscrit au quadrilatère (HBDE).

Démontrer que, quelle que soit la droite $(\Delta)$, les points T et T$'$ appartiennent à un cercle fixe, dont on déterminera le centre et le rayon.
\end{enumerate}
\end{document}