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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1995}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 3,5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $E = x^2 - 9$.
\item Soit $D = (x + 3)(2x + 1) +4\left(x^2 - 9\right)$; développer et réduire $D$.
\item En factorisant, montrer que $D$ peut s'écrire sous la forme :
$(x +3)(6x -11)$.
\item Résoudre l'équation $D = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer : $\dfrac{1 + \dfrac13 - \dfrac12}{2 + \dfrac34 + \dfrac13} \quad ; \quad \dfrac57 - \dfrac27\left(1 - \dfrac34 \right)$

 On donnera les résultats sous forme de fractions simples.
\item  Calculer $A= \sqrt{12} + 4 \sqrt{75} - 6 \sqrt{48}$.

On écrira $A$ sous la forme $a \sqrt b$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier positif le plus petit possible.
\item Développer et réduire :
	\begin{enumerate}
		\item $\left(\sqrt{3} - 2\right)^2$
		\item $\left(2\sqrt{5} - 3\right)\left(3\sqrt{5} + 2\right)$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 3,5 points}

\medskip

Valérie dispose d'une somme de $100$ F pour acheter des livres qu'elle choisit dans deux collections différentes A et B.

Si elle choisit $4$ livres de la collection A et $5$ livres de la collection B, il lui manque 3 F{}.

Elle choisit alors $5$ livres de la collection A et $3$ livres de la collection B ; il lui reste $0,50$ F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données par un système de deux équations à deux inconnues.
\item Calculer le prix d'un livre de chaque collection.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

SABCD est une pyramide régulière dont la base est le carré ABCD de côté $5$~cm et de centre I.

La hauteur [SI] de la pyramide a pour longueur SI $= 3$ cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,8.5)
\psline(0.3,0.5)(6.3,0.5)(9,4.5)(4.6,7.4)(7.65,2.5)%ABCSM
\psline(0.3,0.5)(4.6,7.4)(6.3,0.5)%ASB
\pspolygon[linestyle=dashed](0.3,0.5)(9,4.5)(3,4.5)%ACD
\psline[linestyle=dashed](6.3,0.5)(3,4.5)(4.6,7.4)(4.65,2.5)(7.65,2.5)%BDSIM
\psline[linestyle=dashed](6.3,0.5)(3,4.5)%BD
\uput[dl](0.3,0.5){A} \uput[dr](6.3,0.5){B} \uput[r](9,4.5){C} \uput[ur](3,4.5){D}
\uput[l](4.55,2.5){I} \uput[r](7.65,2.5){M} \uput[u](4.6,7.4){S}\psdots[dotstyle=+,dotangle=35,dotscale=2](7,1.5)(8.325,3.5)
\psframe(4.65,2.5)(4.85,2.7)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide.
\item Soit M le milieu de l'arête [BC].
Démontrer que la longueur IM $= 2,5$ cm.
\item On admet que le triangle SIM est rectangle en I.
)
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\tan \widehat{\text{MSI}}$.
		\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{MSI}}$ à 1\degres près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J) (unité le centimètre), on donne les points A(1~;~2) ; B$(- 2~;~5)$ ; C(5~;~6).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure et placer les points A, B et C.
\item Quelles sont les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}} , \vect{\text{AC}} et \vect{\text{BC}}$.
\item Calculer les longueurs des côtés du triangle ABC. (On demande des valeurs exactes.)
\item Montrer que ABC est un triangle rectangle.
\item Déterminer l'équation de la droite (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Soit un carré ABCD de $8$~cm de côté, M le milieu du côté [AB] et E un point du côté [AD] tel que AE $= x$ (cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs possibles de x ?
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}_1$ du triangle MBC.
\item Exprimer en fonction de $x$ :

• l'aire $\mathcal{A}_2$ du triangle AME ;

• l'aire $\mathcal{A}$ du triangle EDC.
\item On remarque que l'aire $\mathcal{A}'$ du triangle EMC vérifie : $\mathcal{A}'$ = aire(ABCD)- ($\mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2 + \mathcal{A}$).

Calculer l'aire $\mathcal{A}'$ en fonction de $x$.
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on : $\mathcal{A} = \mathcal{A}'$ ?
\item Dans un repère orthogonal, on choisit pour unités : 

$\bullet~~$ 1 cm sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~~$0,5 cm sur l'axe des ordonnées.
	\begin{enumerate}
		\item Dans ce repère, on place le point A de coordonnées (8~;~0) et le point B de coordonnées (4~;~16).
		
Vérifier que les points A et B appartiennent à la droite $(D)$ d'équation $y = - 4 x + 32$. 

Tracer la droite $(D)$.
		\item Tracer la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 2 x + 16$.
		\item En utilisant le graphique où sont tracées les droites $(D)$ et $(\Delta)$: comment retrouve-t-on le résultat de la question 5. ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\end{document}