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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Limoges}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Limoges juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $A = \dfrac{3x - 2}{4}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ pour $x = \dfrac73$.

Le nombre $\dfrac73$ est-il solution de l'inéquation : $\dfrac{3x - 2}{4} < 2$ ?
\item Résoudre l'inéquation : $\dfrac{3x - 2}{4} < 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $B = (2x - 5)^2- 2(2x - 5)(2x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $B$.
\item Factoriser $B$.
\item Résoudre l'équation : $(2x - 5)(11 - 2x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pour \np{1080} F, le père de Pierre a acheté 4 cravates et 3 chemises. 

Sachant que le prix d'une cravate est les $\dfrac35$ de celui d'une chemise, quels sont les prix d'une cravate et d'une chemise ?

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Ecrire sous la forme $a \sqrt b$ avec $a$ et $b$ nombres entiers, $b$ le plus
petit possible :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $C = 5 \sqrt 3 - 2 \sqrt{48} + 2 \sqrt{27} $;
\item $D = \left(\sqrt 2 + 3\right)^2 - 11$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

SABCD est une pyramide régulière de sommet S, de base le carré ABCD de centre O.

On donne :

• la hauteur de la pyramide : SQ = 5 cm ;

• le côté de la base : BC = 4 cm.


\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide en cm3, puis en donner une valeur approchée en mm3.
\item M, N, P, Q sont les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD].

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que MN = 2 cm.
		\item On admet que la pyramide SMNPQ est une réduction de SABCD.

Quel est le rapport de réduction ? Quel est le volume de SMNPQ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(4.2,3.8)
%\psgrid
\psline(0,0.2)(2.5,0.2)(4,1.2)(2,3.7)(2.5,0.2)%ABCSB
\psline(2,3.7)(0,0.2)%SA
\psline(1.1,2.1)(2.22,2.1)(2.9,2.6)%MNP
\pspolygon[linestyle=dashed](0,0.2)(1.5,1.2)(4,1.2)%ADCA
\psline[linestyle=dashed](1.1,2.1)(1.78,2.6)(2.9,2.6)%MQP
\psline[linestyle=dashed](2,0.7)(2,3.7)(1.5,1.2)(2.5,0.2)%OSDB
\uput[d](0,0.2){A} \uput[d](2.5,0.2){B} \uput[r](4,1.2){C} \uput[l](1.5,1.2){D} \uput[d](2,0.7){O}
\uput[l](1.1,2.1){M} \uput[r](2.22,2.1){N} \uput[ur](2.9,2.6){P} \uput[ul](1.78,2.6){Q} \uput[u](2,3.7){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le repère orthonormal (O, I, J) donné ci-dessous, on a placé trois points A, B, C.

\begin{center}
\psset{unit=5mm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-10,-5)(9,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-10,-5)(9,7)
\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,3)(5,6)(1,3)%OCBA
\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](1,3){A}\uput[ur](5,6){B}\uput[dr](4,3){C}
\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner par lecture graphique les coordonnées des vecteurs
$\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{OC}}$.
		\item En déduire la nature du quadrilatère OABC.
	\end{enumerate}	
\item Construire OA$_1$B$_1$C$_1$ image de OABC dans la symétrie orthogonale d'axe (OJ).
\item Construire OA$_2$B$_2$C$_2$ image de OABC dans la translation de
vecteur $\vect{\text{BO}}$.
\item Construire OA$_3$B$_3$C$_3$ image de OABC dans la rotation de centre O, d'angle $90\degres$, dans le sens des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans le repère orthonormal (O, I, J) d'unité 1 cm ci-après, on donne le trapèze rectangle OABC, tel que :

\begin{center}
OA = 6 cm ;\quad AB = 3 cm ;\quad OC = 12 cm.\end{center}


\begin{enumerate}
\item Sur la base [OC], on place le point E tel que CE $= 3$ cm, et par E on trace la parallèle à la droite (OA) qui coupe la diagonale [AC] en M.

Calculer la longueur ME.
\item Par M on trace la parallèle à la droite (AB) qui coupe la droite (BC) en F.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : $\dfrac{\text{CF}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CM}}{\text{CA}}$.
		\item En déduire le parallélisme des droites (OB) et (EF).
	\end{enumerate}	
\item La droite (AC) coupe la droite (OB) en H, on veut calculer la longueur MH.
	\begin{enumerate}
		\item Dans le repère (O, I, J), donner par lecture graphique les coordonnées des points : A, C, B.
		\item Ecrire une équation de la droite (OB).
		\item Ecrire une équation de la droite (AC).
		\item Résoudre le système d'équations :
		
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&\phantom{-}2x\\
y &=& -  \dfrac12 x + 6
\end{array}\right.\]

Que représente géométriquement la solution de ce système ?
		\item Dans cette question, on pose H(2,4~;~4,8). Calculer une valeur approchée de la longueur HM.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=5mm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-3,-1)(16,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-3,-1)(16,13)
\pspolygon[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,0)(0,6)(3,6)(12,0)%OABC
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](0,6){A} \uput[ur](3,6){B} \uput[dr](12,0){C} 
\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}