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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small février 1960}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon février 1960~\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que
\[(a +b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 + b^3.\]

\item Soit le polynôme 
\[P(x) = x^3 - 2x^2 - 2x + 4.\]

Calculer sa valeur numérique dans les trois cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $x = - 1$ ;
		\item $x = \dfrac12$;
		\item $x = 0,03$.
	\end{enumerate}
\item On pose $x = y + 2$.

Exprimer $P(x)$ en fonction de $y$.
\item Déduire du résultat précédent une décomposition de $P(x)$ en un produit de deux facteurs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC dans lequel
\begin{center} BC $= 9$~cm, CA $= 7$~cm, AB $= 5$~cm,\end{center}
après avoir montré que cette construction est possible.
\item Soient P un point de la droite (AB) et Q un point de la droite (AC) tels que
\begin{center} 
\begin{tabular}{l l}
AP = 2~cm,		& AQ = 3~cm,\\
PA + PB = 5~cm,	& QA + QC $> 7$~cm.
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que P et Q sont bien déterminés par ces conditions.
		\item Calculer les rapports $\dfrac{\overline{\text{PA}}}{\overline{\text{PB}}}$ et $\dfrac{\overline{\text{QA}}}{\overline{\text{QC}}}$. 
		\item Peut-on mettre leur valeur absolue sous forme décimale ?
		\item Montrer que (BC) et (PQ) se coupent.
	\end{enumerate}	
\item La parallèle à (BC) menée par P coupe (AC) en M.

Calculer AM et PM.
\item Soit R le point d'intersection de (BC) et (PQ).

Calculer le rapport $\dfrac{\overline{\text{RB}}}{\overline{\text{RC}}}$.
\end{enumerate}
\end{document}