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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre l'expression 
\[(5x + 1)(3x + 8) + (5x + 1)(x - 2) - \left(25x^2 - 1\right)\]
sous la forme :
	\begin{enumerate}
		\item d'un produit de deux binômes $y_1$ et $y_2$ du premier degré
		\item d'un polynôme ordonné.
	\end{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ le produit des binômes
$y_1$ et $y_2$ s'annule-t-il?

Vérifier que, pour ces valeurs de $x$, le polynôme $y$ est nul.
\item Construire avec les mêmes axes de coordonnées le droites $D_1$ et  $D_2$ qui représentent les fonctions $y_1$ et $y_2$ (le centimètre est pris comme unité sur les deux axes).

$D_1$ et  $D_2$ coupent l'axe des $x$ respectivement aux point A$_1$ et  A$_2$ et se coupent en un point P{}.

Quelles sont les coordonnées de ces trois points ?

Évaluer l'aire du triangle A$_1$PA$_2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un carré ABCD de côté $a$ ; on prend sur le côté [BC] un point quelconque M et sur le côté [CD] un point R tel que BM = CR ; les deux droites (AM) et (BR) se coupent en un point P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (AM) et (BR) sont perpendiculaires ; en déduire la relation 
\begin{center}AB $\times$ BM = AM $\times$ BP{}.\end{center}
\item Démontrer que le quadrilatère APRD est inscriptible.

Quelle ligne décrit le centre du cercle qui lui est circonscrit quand le point M décrit le côté [BC] ?

Entre quelles limites varie alors le rayon de ce cercle ?
\item Construire le point M de façon que le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère APRD ait une valeur donnée $r$.

\end{enumerate}
\end{document}