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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Lyon}}
\rfoot{\small{juin 1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon juin  1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré l'expression

\[(5x + 1)(2x + 3) + (5x + 1)(x - 2)- (7x - 4)(5x + 1).\]

\item Résoudre l'équation 
\[(5x + 1)(2x + 3) + (5x + 1)(x - 2) =  (7x - 4)(5x + 1).\]

\item Simplifier la fraction rationnelle

\[\dfrac{\left(2x - \dfrac14\right)^2 -\dfrac{81}{16}}{
(5x + 1)(2x + 3) + (5x + 1)(x - 2)- (7x - 4)(5x + 1)}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un triangle rectangle ABC :

$\widehat{\text{A}} = 90\degres,\: \widehat{\text{B}} = 60\degres$,\: BC $= 2a$ \:($a$ étant une longueur donnée).

Un angle droit pivote autour de son sommet O, milieu de l'hypoténuse [BC], ses côtés coupent [AB] en E et [AC] en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de la longueur $a$ donnée, la longueur du segment [EF] dans les trois cas suivants (faire une figure pour chaque cas) :
	\begin{enumerate}
		\item (OE) et (OF) sont 
		les bissectrices des angles $\widehat{\text{BOA}}$ et $\widehat{\text{AOC}}$ ;
		\item le point E est en B ;
		\item le point E est en A.
	\end{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère AEOF est inscriptible.

Lieu géométrique du centre I du cercle circonscrit au quadrilatère AEOF quand le point E varie sur le côté [AB].
\end{enumerate}
\end{document}