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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lfoot{\small{Lyon}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lyon juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer le produit $(3x - 5) (7 + x)$.
\item On donne la fraction 
\[\dfrac{3x^2 + 16x - 35}{49 - x^2}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ n'a-t-elle pas de valeur?
		\item Simplifier la fraction. Soit $F(x)$ la fraction trouvée.
		\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F(x)$ est-elle nulle ?
		\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F(x)$ a-t-elle pour
valeur numérique 1 ?
	\end{enumerate}
\item Soient les deux fonctions de $x$
\begin{center}$y = 3x - 5$\quad  et \quad $y = - x + 7$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Quel est leur sens de variation ?
		\item Les représenter graphiquement par rapport à un même système d'axes perpendiculaires.
		\item Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?
		\item Retrouver par le graphique la valeur de $x$ rendant la fraction $F(x)$ égale à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item De part et d'autre du diamètre [AC] d'un cercle de centre O, de rayon $R$, on trace les cordes [AB] et [AD] faisant respectivement avec (AC) un angle de $45\degres$ et un angle de $30\degres$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
		
En déduire la longueur AB en fonction de $R$.
		\item Quelle est la nature du triangle COD ?
		
En déduire les longueurs  CD et AD en fonction de $R$.
	\end{enumerate}
\item (AB) et (DC) se coupent en F ; (AD) et (BC) se coupent en E.

Quelles sont les trois hauteurs du triangle AEF ?
\item Montrer que le quadrilatère BDEF peut s'inscrire dans un cercle de centre O$'$.

Préciser la position de O$'$.
\item Montrer que les triangles BCF et ADF sont semblables.

Écrire les rapports de similitude et calculer la valeur commune de ces rapports.
\end{enumerate}
\end{document}