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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

On donne l'expression
\[A(x) = 25x^2 - 1 - (x + 1)(5x + 1)+ 5x - 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer cette expression et donner le résultat sous forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Décomposer $A(x)$ en un produit de deux binômes du premier degré et déterminer pour quelles valeur de $x$ l'expression $A(x)$ est nulle.
\item On donne la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{20x^2 - 26x - 6}{(2x + 6)(2x - 3)}.\]

Que peut-on dire de $F(x)$ pour $x = \dfrac32$ et pour $x = - 3$ ?

Simplifier $F(x)$ et calculer sa valeur numérique pour
$x = - \dfrac15$.

Représenter sur un même graphique les fonctions 
\begin{center}$y_1 = 5x + 1$\qquad  et \qquad $y_2 = x + 3$.\end{center}

Déterminer, sur ce graphique, pour quelle valeur de $x$ la fraction $F(x)$ est égale à l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un cercle (O) de centre O et de rayon $R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer sur ce cercle deux points, A et B, tels que 
$\widehat{\text{AOB}} = 120\degres$.

Construire le cercle (O$'$) de centre O$'$, tangent en A à (OA) et passant par B.

Montrer que ce cercle est tangent en B à (OB).

Calculer son rayon.
\item La droite OO$'$ coupe le cercle (O) en I et J et le cercle (O$'$) en K et L, les points étant dans l'ordre I, K, J, L sur la droite OO$'$.

Quelle est la nature du quadrilatère OAJB et celle du triangle O$'$AB ?
\item Démontrer que les points O, A, O$'$, B sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
\item Calculer en fonction de $R$  JK, JL, IK et IL ; en déduire la valeur des rapports ~~ et ~~.

Comparer les rapports $\dfrac{\overline{\text{JK}}{\overline{\text{JL}}$ et $\dfrac{\overline{\text{IK}}{\overline{\text{IL}}$.
\end{enumerate}
\end{document}