\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Lyon juin 1987},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small juin 1987}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie: dominante numérique}

\medskip

\emph{Les quatre exercices sont indépendants}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A = 4 \times 5^3 + (-2)^4$  en faisant apparaître les étapes du calcul.
431 
\item Calculer $B= - \dfrac43 - \dfrac32 \times 5 + \dfrac14$  \quad 
et \quad $C = \dfrac{\dfrac14 - \dfrac15}{\dfrac12 + \dfrac13}$.

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
\item On considère les nombres réels
\begin{center}$x =2\sqrt{11} - 6$\quad  et \quad $y = 2\sqrt{11} +6$.\end{center}

Calculer $x +y,\: x - y,\: xy$. 

On ne demande pas de valeurs approchées.
\item On trace un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 5 cm et BC = 9 cm.

On place un point M sur le segment [BC] et on construit le rectangle ABMN.
	\begin{enumerate}
		\item En appelant $x$ la longueur BM, donner l'aire du rectangle ABMN.
		\item Comment choisir BM $= x$ pour que l'aire du rectangle ABMN soit les $\dfrac23$ de l'aire du triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie : dominante géométrique}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle OAB tel que OA $= 5$ cm ; OB $= 4$ cm; AB $= 3$ cm.
		\item Démontrer que le triangle OAB est rectangle.
		\item D est le point symétrique de A par rapport à B. C est le point symétrique de O par rapport à B. 
		
Placer ces deux points sur la figure.

Démontrer que le quadrilatère OACD est un losange.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle EFG tel que
\begin{center}$\widehat{\text{FEG}} =50\degres$ \:;\quad  EF $= 10$ cm\:;\quad  EG $= 8,8$ cm.\end{center}
		\item Placer le point M milieu du segment [EF] et le point N milieu du segment [EM].
		
Tracer la parallèle à la droite (FG) passant par N, elle coupe la droite (EG) en P.
		\item Calculer $\dfrac{\text{EP}}{\text{EG}}$ puis  EP.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Les applications affines $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ sont définies par 
\[f(x) = 2x + 3\qquad ;\qquad  g(x) =- x + 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé (on prendra pour unité $3$~cm).

Représenter graphiquement $f$ et $g$ sur papier millimétré. 

On appelle $(D)$ la représentation graphique de $f$ et $(D')$ celle de $g$.
\item Résoudre dans $\R$ :
	\begin{enumerate}
		\item l'équation $g(x)= f(x)$,
		\item l'inéquation $g(x) < f(x)$.
	\end{enumerate}
Interpréter graphiquement la solution trouvée en a. puis celles trouvées en b.
\item On considère l'expression
\[P(x) =(2x + 3)^2 - (1 - x)^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $P(x)$.
		\item Factoriser $P(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $P(x) = 0$.
		
Pourquoi la solution de l'équation $g(x) = f(x)$ est-elle une solution de l'équation $P(x) = 0$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}