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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Lyon}
\lfoot{\small septembre 1995}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon  septembre 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{On précisera des calculs intermédiaires}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'écriture décimale de : 

$A = 17 - 5 \times 6 + 1$.

$B = 10^{-4} \times 0,2 \times 10^3 \times \dfrac{1}{10^2}$.

\item Donner l'écriture sous forme de fraction irréductible : 

$C  = 3 + \dfrac13 \times \dfrac65 - \dfrac65$.

\item Écrire sous la forme $a \sqrt 3$ où $a$ est un entier :

\[D = 6\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{192}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $E = 3(2x - 1) - (2x - 1)(2x + 1).$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre $(2x - 1)(2 - 2x) = 0$.
\end{enumerate}

medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

En 1994, les impôts locaux en Alsace s'élevaient à $7,3$
 milliards de francs répartis comme suit:

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
%\psgrid
\pswedge(0,0){2}{15}{75}
\pswedge(0,0){2}{75}{95}\pswedge[fillstyle=hlines](0,0){2}{95}{300}%\pswedge(0,0){2}{-65}{15}
\pscircle(0,0){2}
\rput(-1,0){\footnotesize Taxe}\rput(-1,-0.6){\footnotesize professionnelle}
\rput(0.8,2.6){\footnotesize Taxe foncière sur le non-bâti}
\rput(0.8,2.2){\footnotesize 0,3 milliard de F}
\rput(1.8,1.4){\footnotesize Taxe d'habitation}\rput(1.8,1){\footnotesize 1,2 milliard de F}
\rput(2,-0.2){\footnotesize Taxe foncière sur le bâti}
\rput(2,-0.6){\footnotesize 1,6 milliard de F}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Mesurer l'angle qui représente la taxe d'habitation.

Retrouver sa valeur par calcul.
\item Indiquer la valeur de la taxe professionnelle en milliards de francs. 

À quel pourcentage du total des impôts locaux cette somme correspond-elle ? L’exprimer à $10^{-1}$ près 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{La figure donnée ne respecte pas les dimensions.}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
ABCD est un trapèze rectangle. 

Ses bases sont [AB] et [CO].

Les angles en B et C sont droits.

Les diagonales se coupent au point I.

Les mesures données sont en centimètres:

ID = 16, \quad IC = 12, \quad IB = 9, \quad DC = 20, \quad BC = 15
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.6,4.3)
\pspolygon(2.3,4)(5,4)(0.2,0.2)(5.1,0.2)(2.3,4)(0.2,0.2)(5.1,0.2)(5,4)%ABDCADCB
\psframe(5,4)(4.8,3.8)\psframe(5.1,0.2)(4.9,0.4)
\uput[ul](2.3,4){A} \uput[ur](5,4){B} \uput[dr](5.1,0.2){C}
\uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[u](3.28,2.7){I}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Sur votre copie, dessiner ce trapèze à l'échelle $\dfrac12$, en laissant les traces ayant permis la construction.
\item Prouver que les diagonales de ce trapèze sont perpendiculaires.
\item Justifier l'égalité $\dfrac{\text{AB}}{\text{DC}} = \dfrac{\text{IB}}{\text{ID}}$.

En déduire la longueur de la base [AB].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
L'unité est le centimètre.

La pyramide ABCD est telle que : 

$\widehat{\text{BAC}} = \widehat{\text{BAD}} = \widehat{\text{CAO}} = 90\degres$

AB $= 4$, \quad BC = BD $= 5$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AD.
\item Montrer que le triangle CAO est rectangle et isocèle.

Préciser et justifier la valeur de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$.
\item Calculer le volume de la pyramide.
\item Cette pyramide est la réduction à l'échelle $\dfrac15$ d'une pyramide en bois.

Quel est le volume de la pyramide en bois ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.31\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(3.5,5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.8)(0.5,4.2)(2.9,1.7)(2.3,0.3)(0.5,4.2)(0.5,4.2)(2.3,0.3)%ABCDBA
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.8)(2.9,1.7)
\psline(0.5,1)(0.68,0.92)(0.68,0.72)
\psline(0.5,1)(0.72,1.1)(0.72,0.87)
\uput[l](0.5,0.8){A} \uput[u](0.5,4.2){B} \uput[r](2.9,1.7){C} \uput[d](2.3,0.3){D}
\uput[l](0.5,2.5){4}\uput[ur](1.4,2.25){5}\uput[ur](1.7,2.95){5}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\newpage

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Christelle habite dans une grande station de ski des Alpes.

L'hiver pro-chain, Christelle aura quinze ans. Elle ne pourra plus profiter de l'accès gratuit aux remontées mécaniques qu'elle avait jusqu'à présent en tant que jeune de la station.

Il lui faudra choisir entre trois formules:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Formule $J$\quad chaque journée de ski coûte 110 F.
\item[$\bullet~~$] Formule $C$\quad une cotisation annuelle de 440 F au club des sports de la station permet de bénéficier d'une réduction de 40\,\% sur le prix de chaque journée de ski.
\item[$\bullet~~$] Formule $S$\quad la carte saison coûte \np{1600}~F et donne libre accès aux remontées de la station durant tout l'hiver.
\end{itemize}

Le but du problème est de déterminer la formule la moins coûteuse en fonction du nombre de journées de ski que fera Christelle l'hiver prochain.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de la formule $C$.

Pour une personne qui a payé sa cotisation au club des sports, montrer qu'elle doit dépenser encore $66$~F par journée de ski.
\item Recopier et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de journées de ski	&8 	&15 &20\\ \hline
Dépense avec la formule $J$	&	&	&\\ \hline
Dépense avec la formule $C$	&	&	&\\ \hline
Dépense avec la formule $S$	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On appelle $x$ le nombre de journées de ski.

Exprimer en fonction de $x$ les dépenses selon les trois formules $J$, $C$ et $S$.
\item Résoudre l'équation : 

\[110x = 66x + 440.\]

En faisant le lien avec la situation qui précède, à quoi correspond la solution de cette équation ?
\item Sur du papier millimétré, dans un repère orthogonal, prendre:
\begin{itemize}
\item en abscisse: 1 cm pour 2 unités,
\item en ordonnée : 1 cm pour 100 unités, en plaçant l'origine en bas à gauche de la feuille.
\end{itemize}

Tracer les droites :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $d_1$, dont l'équation est $y = 110x$
\item[$\bullet~~$] $d_2$ dont l'équation est $y = 66x + 440$ 
\item[$\bullet~~$] $d_3$ dont l'équation est $y = \np{1600}$
\end{itemize}

\item D'après le graphique, proposer à Christelle la solution la plus économique d'après le nombre de journées de ski qu'elle prévoit de faire ? 

Rédiger clairement votre proposition et justifier.
\end{enumerate}
\end{document}