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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Madrid juin 1955~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer sur un axe $x'x$ un point O et placer les points A et B tels que $\overline{\text{OA}} = 5,\:\overline{\text{OB}} = - 3$.

Placer en outre, sur cet axe, un point quelconque C, puis calculer en fonction de $\overline{\text{OC}} = x$, les mesures algébriques $\overline{\text{BC}}$ et $\overline{\text{CA}}$.

Calculer en outre $\overline{\text{AB}}$.

(Dans la construction de la figure on prendra le cm pour unité de longueur.)
\item Calculer, en fonction de $x$, la somme
\[\overline{\text{OA}} \times \overline{\text{BC}'} + \overline{\text{OB}} \times \overline{\text{CA}} + \overline{\text{OC}} \times \overline{\text{AB}}.\]

Déduire du résultat que cette somme est indépendante de la position du point C sur l'axe $x'x$.
\item On pose $\overline{\text{BC}} = y$ et $\overline{\text{CA}} = z$.

Représenter, avec le même système d'axes, les variations des fonctions $y$ et $z$ quand le point C décrit en entier l'axe $x'x$.

Déterminer, à l'aide du graphique obtenu, l'abscisse du point C sur l'axe $x'x$ quand $\overline{\text{BC}} = \overline{\text{CA}}$.

Vérification du résultat par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit ABC un triangle rectangle en A.

On mène la hauteur [AH] et l'on trace le cercle $\mathcal{C}$ de centre A et de rayon AH.

Des points B et C on mène les tangentes à ce cercle $\mathcal{C}$.

Soient D et E les points de contact respectifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, D, E, sont alignés ; en déduire que (BD) et (CE) sont parallèles.
\item Démontrer la relation 
\begin{center}BD $\times$ CE $= \dfrac{\text{DE}^2}{4}$.\end{center}
\item (HD) coupe (AB) en M et (HE) coupe (AC) en N.

Montrer que (MN) et (AH) sont égales et se coupent en leur milieu.
\item On donne AB $= 3$~cm et AC $= 4$~cm.

Calculer AM et AN.
\item Déduire des résultats du 4. l'aire du triangle DHE.
\end{enumerate}
\end{document}