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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Madagascar}}
\rfoot{\small{juin 1963}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Madagascar juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(2x - 3)(5x + 2) - (2x - 3)(x + 3),\\
B(x)&=&(4x - 1)(3x + 2) - \left(16x^2 - 1\right).
\end{array}\]

\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A(x) = 0$ ; $B(x) = 0$ ? 
\item Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Cette simplification est-elle toujours légitime ?
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $\dfrac{A(x)}{B(x)} = 1$?

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $\dfrac{A(x)}{B(x)} = - 2$ ?
\item Par rapport à des axes de coordonnées rectangulaires tracer les courbes représentant les fonctions
\begin{center}$y = 2x - 3$\qquad et \qquad $y = 1 - x$.\end{center}

Retrouver sur ce graphique une réponse à la question 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne une demi-circonférence de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, et un point P sur la tangente en A à cette demi-circonférence.

De P, on mène l'autre tangente, (PT), qui coupe la droite (AB) en un point C.

La droite (OT) coupe (AP) en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (PO) et (CD) sont perpendiculaires et que le triangle PCD est isocèle.
\item Démontrer que les triangles PAT, PCD d'une part et AOT, DOC d'autre part sont semblables.

Montrer que le rapport des aires des triangles PAT et PCD est égal à $\dfrac{\text{AO}^2}{\text{OC}^2}$.
\item Dans le cas où l'angle $\widehat{\text{APT}} = 60\degres$, évaluer en fonction de $R$ (rayon du cercle) les longueurs PA, PT, PO, OC, ainsi que l'aire des triangles PAT et PCD.
\end{enumerate}
\end{document}