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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Madagascar}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Madagascar juin 2008~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

 \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}
 
On donne E $ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{17}{2} \times \dfrac{4}{3}\qquad$ et $\qquad \text{F} = \dfrac{\sqrt{6} \times \sqrt{3} \times \sqrt{16}}{\sqrt{2}}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les nombres E et F sont égaux.

\item  On donne G $= \left(10^{-1}+ a\right) \times 10^2$. Calculer le nombre $a$ pour que l'égalité E =  G soit vraie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On considère les nombres suivants :

\[\text{A} = \nombre{1001} \times 999 - 999^2\quad 	\text{B} = 57 \times 55 - 55^2\quad 	\text{et} \quad 	\text{C} = (-2) \times (-4) -(- 4)^2.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs lues sur la calculatrice pour A, B et C.
		\item  Les nombres A et B sont-ils premiers entre eux ? Justifier brièvement.
	\end{enumerate}
\item On pose $D = (x + 1)(x - 1) - (x - 1)^2$.
	\begin{enumerate}
		\item $x$ étant un nombre entier, supérieur à 1, montrer que $D$ est un multiple de $2$.
		\item Pour quelles valeurs de $x,~ D$ est-il un nombre négatif ou nul ?
		
Représenter les valeurs trouvées sur un axe en hachurant la partie qui ne convient pas.
	\end{enumerate}
\item	Trouver une expression E de la même forme que celle de A pour laquelle le résultat du calcul est \nombre{2008}.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
L'air, dans l'environnement terrestre, est un mélange constitué

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 	de 78\:\% de diazote
\item[$\bullet~$]	de dioxygène
\item[$\bullet~$]	d'autres gaz (ozone, argon, vapeur d'eau, dioxyde de carbone, ...).
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'air contenu dans un ballon de football pèse $470,6$~g. Dans des conditions de température et de pression fixées, la masse d'un litre d'air est 1,3~g. Déterminer alors la masse, en g, puis le volume, en L, de diazote à l'intérieur du ballon.

\item  Une salle de classe de volume 30~m$^3$ contient 6,3~m$^3$ de dioxygène. Trouver le pourcentage de dioxygène et le pourcentage des gaz présents dans l'air, autres que le diazote et le dioxygène.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip 

\emph{Dans les deux exercices, les figures ne sont pas en vraie grandeur. Elles ne sont pas à reproduire mais elles peuvent constituer une aide pour les démonstrations demandées.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}
 
\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{ABC est un triangle rectangle en C tel que
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le segment [AC] mesure 8~cm ;
\item[$\bullet~$] le segment [BC] mesure 6~cm;
\item[$\bullet~$] le milieu du segment [AC] est noté I.
\end{itemize}} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4.5,3.5)
\psframe(-0.5,-0.5)(4.5,3.5)
\pspolygon(0,0)(4,0)(4,3)
\uput[l](0,0){A} \uput[u](4,3){B} \uput[r](4,0){C} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que AB = 10 cm.
\item  Préciser la position du point O centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Justifier.
\item  Pour chacune des cinq questions, indiquer sur la copie la ligne de la question et recopier \textbf{la} réponse exacte. On ne demande pas de justification.
 \end{enumerate}
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&Questions &\multicolumn{3}{c|}{Réponses proposées}\\ \hline
L1	& Que représente la droite (OI) ?&	Une médiane du triangle&	Une hauteur du triangle &	La médiatrice de [AC]\\ \hline
L2	&Que vaut la longueur du segment [OI] ?&2 cm&3 cm&5 cm\\ \hline
L3	&Quel est l'arrondi à l'unité de la mesure de l'angle $\widehat{\text{IAO}}$ ?&53\degres&36\degres&37 \degres\\ \hline
L4	&Que vaut l'aire du quadrilatère OICB ?&18 cm$^2$&	6 cm$^2$& 	12 cm$^2$\\ \hline
L5	&Quelle est la nature du triangle OBC ?&Un triangle équilatéral&	Un triangle quelconque&	Un triangle isocèle\\ \hline
\end{tabularx}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
(O~;~I,\:J) est un repère orthogonal donné.

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{\begin{enumerate}
\item  Lire les coordonnées des points	L, U, N  et E.

\item   Démontrer que le quadrilatère LUNE est un parallélogramme.

Préciser son centre de symétrie.

\item   Le point A est défini par
$\vect{\text{LA}} =  \vect{\text{LU}} + \vect{\text{LN}}$.

Prouver que N est le milieu du segment [AE].

\item   Les droites (OA) et (UN) se coupent au point H. Montrer que la droite (EH) est une médiane du triangle UEA.
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.72cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-5)(7,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-3,-5)(7,4)
\pspolygon[linewidth=1.25pt](-2,3)(1,2)(2,-3)(-1,-2)
\uput[ul](-2,3){L}  \uput[ur](1,2){U}  \uput[dr](2,-3){N}  
\uput[dl](-1,-2){E}  \uput[dl](0,0){O}  \uput[dr](1,0){I}  \uput[ul](0,1){J}  
\end{pspicture}}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Pour commercialiser des tomates, une coopérative les calibre en fonction du diamètre. On a relevé, ci-dessous, le diamètre de 30 tomates (en millimètres).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(7,1.25)
\rput(3.5,1){49 - 52 - 59 - 57 - 51 - 55 - 50 - 56 - 49 - 48}
\rput(3.5,0.25){58 - 49 - 52 - 51 - 53 - 56 - 49 - 56 - 55 - 50}
\rput(3.5,-0.5){52 - 56 - 57 - 54 - 53 - 49 - 51 - 55 - 56 - 59}
\psframe(0,-1)(7,1.25)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Diamètres			&[48 ; 51[	&[51 ; 54[	&[54 ; 57[	&[57 ; 60[\\ \hline
Effectif			&8			&			&			& \\ \hline
Centre des classes	&			&52,5		&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\medskip

\item  À partir de ce tableau des effectifs, vérifier que le diamètre moyen d'une tomate, arrondi à l'unité, est 54~mm. Déterminer le volume, en mm$^3$, d'une tomate de diamètre moyen, modélisée comme une boule. Arrondir à l'unité.

\medskip

\emph{On rappelle que le volume d'une boule de rayon $R$ est} $\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Les caissettes de 15~tomates sont vendues et livrées à partir de la coopérative. L'acheminement s'effectue selon deux possibilités.

Possibilité \no 1 :  La caissette est vendue 7~\euro{} pour une livraison inférieure ou égale à 90~km de la coopérative.

Possibilité \no 2 : La caissette est vendue 6,50~\euro{} pour une livraison supérieure ou égale à 90~km avec des frais de transport de 50~\euro.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les deux tarifs pour un achat de 100 caissettes.

\item  Une entreprise située à $200$~km de la coopérative achète $x$ caissettes Quel sera le prix $P(x)$ à payer à la coopérative ?

\item  Une autre entreprise située à $50$~km de la coopérative achète $x$ caissettes. Quel sera le prix $S(x)$ à payer à la coopérative ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip
 
\textbf{Une feuille de papier millimétré est nécessaire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un même repère orthogonal, représenter graphiquement les deux fonctions $S$ et $P$. On prendra sur l'axe des abscisses 1~cm pour $10$~caissettes et sur l'axe des ordonnées 1~cm pour $50$~\euro.
\item Une troisième entreprise se situe exactement à 90~km de la coopérative. On suppose qu'elle a le choix entre les deux tarifs proposés. Déterminer à l'aide du graphique, le tarif de vente le plus avantageux selon le nombre $x$ de cassettes qu'elle souhaite acheter.
\end{enumerate}
\end{document}
