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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Madagascar}
\lfoot{\small septembre 1988}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Madagascar\footnote{Île Maurice, Moroni, Seychelles}
 septembre 1988}~\decofourright}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'écriture des nombres suivants (on donnera les valeurs exactes les plus simples possible et non des valeurs approchées) :

\[\begin{array}{l l l}
A = 3 - \dfrac16 + \dfrac14 \:; &B =  \dfrac{2}{21} \times \dfrac78 ; & C = \left(\dfrac12 - \dfrac13\right)^2 ;\\
D =  3\sqrt 8 + 5\sqrt{72} \:;&E = \dfrac{\sqrt{240}}{\sqrt 5}. &\\
\end{array}\]

\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système suivant : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{-}0,3x + 0,1y &=& 1,7\\
- 0,1x + 0,3y &=& 0.1.
\end{array}\right.\]

\item Pierre possède un champ carré ABCD.

Suite à des travaux effectués par la mairie, le champ est transformé en un rectangle AB$'$C$'$D$'$ tel que BB$'$ et DD$'$ mesurent $1$~mètre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.4)(4.5,3.5)
\psframe(3.2,3.2)%ABCD
\psline[linestyle=dashed](0,0.8)(4,0.8)(4,3.2)(3.2,3.2)%D'C'B'B
\uput[ul](0,3.2){A} \uput[u](3.2,3.2){B} \uput[dr](3.2,0){C} \uput[dl](0,0){D}
\uput[ur](4,3.2){B$'$} \uput[dr](4,0.8){C$'$} \uput[l](0,0.8){D$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

Montrer que Pierre est perdant, c'est-à-dire que le nouveau champ a une aire moins grande.

(On pourra poser AB $= x$ pour la justification, mais on ne demande pas de calculer $x$.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère \Oij{} orthonormé (unité : 1~cm), on donne les points 
\begin{center}A(3~;~4),\qquad  B(4,5~;~- 0,5),\qquad  C(- 3~;~2).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C sur une figure.
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du point M milieu de [BC].
\item Placer le point D symétrique de A par rapport à M.

Démontrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle équilatéral ABC de côté $5$~cm.
\item La médiatrice du segment [BC] et la droite perpendiculaire en B à la droite (AB) se coupent au point D. On appelle I le milieu de [AD].
	\begin{enumerate}
		\item Compléter la figure.
		\item Démontrer que les points A, B, D appartiennent au cercle de centre I et de rayon 
	$\dfrac{\text{AD}}{2}$.
		\item En remarquant que $\widehat{\text{BAD}} = 30\degres$, calculer la mesure exacte en cm du rayon de ce cercle.
		
Vérifier que sa valeur approchée par excès au mm près est $29$~mm.
		\item Démontrer que C appartient à ce cercle.
		\item En déduire que la médiatrice du segment [AC] passe par I.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}