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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Madrid }}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Madrid juin 1960\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan rapporté à deux axes rectangulaires, construire les droites $(D)$ et $(D')$ d'équations respectives

\[\begin{array}{l l c l}
(D)& y &= &x - 9,\\
(D')& y& =& - \dfrac57 x + 15.
\end{array}\]

\item Calculer les coordonnées du point d'intersection, P,
des droites $(D)$ et $(D')$.
\item Former les équations des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D'_1\right)$  parallèles respectivement à $(D)$ et $(D')$  menées par le point M$(x = - 3~;~y = 0)$.
\item Les quatre droites $(D), (D'), \left(D'_1\right), \left(D_1\right)$ forment un parallélogramme MNPQ.

Calculer les coordonnées des sommets N et Q.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

On considère un trapèze ABCD rectangle en A et D.

On donne AB $= a$,\quad  CD = AD $= 4a$.

On appelle O le milieu de [AD], I le milieu de [BC], H la
projection de O sur(BC) et K la projection de B sur (CD).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $a$ les longueurs des segments [BC] et [OI].
\item Montrer que les triangles OHI et BKC sont semblables.

En déduire le calcul de OH.
\item Montrer que le cercle de diamètre [AD] est tangent à (BC) et que le cercle de diamètre [BC] est tangent à (AD).
\item (OB) coupe (AH) en M, (OC) coupe (DH) en P. Quelle est la nature du quadrilatère OMHP ?

Calculer son aire.
\end{enumerate}
\end{document}