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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Madrid septembre 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produit de facteurs chacune des expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A&=& (y - 5x + 5)^2 - (y + x - 3)^2\\
B&=& 3x(3x - 4) + 16 - 9x^2.
\end{array}\]
 
\item Simplifier la fraction $C = \dfrac AB$.
\item En égalant à zéro le résultat obtenu pour $C$, on calculera $y$ en fonction de $x$.

Construire la droite représentant graphiquement les variations de $y$.
\item Chercher les coordonnées des points d'intersection de cette droite avec les deux bissectrices de angles des axes de coordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Un point M se déplace sur un demi-cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de diamètre [AB] tel que 

AB $= 2R$.

On prolonge [AM] d'une longueur MP = MB et [BM] d'une longueur MQ = MA.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points P et Q se déplacent sur un cercle, dont on précisera le centre O$'$ et le rayon.

Limiter les lieux de P et Q.
\item Calculer PQ et montrer que la hauteur [MH] du triangle AMB coupe [PQ] en son milieu, I.
\item Calculer O$'$I et trouver le lieu du point I.
\item Nature du quadrilatère OO$'$IM.
\item Nature du quadrilatère AQPB.
\end{enumerate}
\end{document}