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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Maine-et-Loire}
\lfoot{\small juin 1982}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Maine-et-Loire juin 1982\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

$f$ est une application de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = (x +7)^2 - (3x - 5)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f(0), \: f\left(-\dfrac12\right),\: f\left(\sqrt 3\right)$.
\item Résoudre les équations :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 0$ ;
		\item $f(x) = 24$ ;
		\item $f(x) = 6 - x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

On donne un carré (A, B, C, D) ; O est le milieu de [A, B] ; $(\mathcal{C})$ est le cercle dont [A, B] est un diamètre. On marque un point E sur $(\mathcal{C})$, distinct de A et de B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point F symétrique de E par rapport à A, et le point G symétrique de E par rapport à B.


Démontrer que (FG) et (AB) sont des droites parallèles.

Démontrer que $\vect{\text{AF}}$ et $\vect{\text{DG}}$ sont orthogonaux.

Démontrer que le point I, milieu de [F, G], est un point du cercle $(\mathcal{C})$.
\item Peut-on choisir le point E sur (C) de manière que I soit sur la médiatrice de [C, D] et à l'intérieur du carré ?

Quelle est alors la nature du triangle (E, C, D) et quel est son centre de gravité ?
\item On choisit un repère orthonormé de la manière suivante : l'origine est O ; les coordonnées de A sont (1~;~0), \: l'ordonnée de C est positive.

Quelles sont les coordonnées de B, de C, de D?

Démontrer que E$_1\left(\dfrac{\sqrt 5}{5}~;~\dfrac{2\sqrt 5}{5}\right)$ est un point de $(\mathcal{C})$ ainsi que E$_2\left(-\dfrac{\sqrt 5}{5}~;~-\dfrac{2\sqrt 5}{5}\right)$.

Démontrer que E$_1$, E$_2$ O et D sont alignés. 

Peut-on indiquer les coordonnées des deux points communs à $(\mathcal{C})$ et à la droite (OC) ?
\end{enumerate}
\end{document}