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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Mali}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Mali juin 1960\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les deux expressions

\begin{center}$A = \dfrac{x - 2}{x + 2} - \dfrac{x + 2}{x - 2}$\quad  et\quad  $B = \dfrac{3}{x+2} - \dfrac{3}{x - 2},$\end{center}

puis $Y_1 = \dfrac AB$.
\item Construire sur un même graphique les deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives
\begin{center}$Y_1 = \dfrac{2x}{3}$\qquad et $Y_2 = - \dfrac23 x + 4$\end{center}
et calculer les coordonnées du point de rencontre des deux droites.
\item Une droite se déplace en restant parallèle à OY recoupe $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ en M$_1$ et M$_2$.

Quelle est l'équation de la droite passant par les  milieux de tous les segments [M$_1$M$_2$] ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

On donne un cercle de centre O et de rayon $R$.

On trace un diamètre [AB], un rayon [OC] perpendiculaire à (AB) et un rayon [OD] tel que l'angle $\widehat{\text{BOD}}$ et que le quadrilatère ACBD soit convexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer en degrés les angles de ce quadrilatère et calculer ses côtés en fonction de~$R$.
\item Montrer que la droite (DC) est bissectrice de l'angle  $\widehat{\text{ADB}}$.

En déduire la valeur du rapport $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}}$\:(M désigne le 
point commun à  (AB) et (DC)).
\item Montrer que le triangle MCA est semblable au triangle MBD.

Évaluer le rapport de similitude de ces deux triangles.

\item Calculer la valeur des rapports $\dfrac{\text{MD}}{\text{MB}}$ et $\dfrac{\text{MD}}{\text{MB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}