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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{juin 1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Maroc juin 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Soit la fraction algébrique 
\[\dfrac{x^2 + 4xy + 4y^2 - 4}{x^2 - 4y^2 - 2(x - 2y)}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier cette fraction.
\item Calculer la valeur numérique prise par la fraction
simplifiée dans les trois cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $x = - \dfrac12, \quad y = - \dfrac23$ ;
		\item $x = \phantom{-}1,\quad y = \dfrac12$ ;
		\item $x = \phantom{-}\dfrac{1}{\sqrt 2}$, \quad $y = 1$.
	\end{enumerate}
\item  On suppose que $x$, et $y$ sont les coordonnées d'un
point M.

Quelle est la ligne décrite par le point M dans un plan rapporté à deux axes rectangulaires quand la fraction simplifiée est nulle ?

Construire cette ligne.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

Un deuxième cercle $\mathcal{C}'$, passant par A et ayant pour centre un point M du premier cercle, le recoupe en I.

Soit C le point diamétralement opposé à A sur le cercle $\mathcal{C}'$ de centre M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les trois points C, I, B sont alignés.

Nature du triangle ABC.

En déduire sur quelle ligne se déplace C lorsque M varie.
\item Montrer que les triangles MCI et AOM sont semblables.

Montrer que AM est moyenne proportionnelle entre CI et AO.
\item Calculer en fonction de $R$ la valeur non nulle qu'il faut donner à AM pour que CI soit la moitié de AM.

Dans ce cas particulier, calculer l'aire du triangle ABC.

\end{enumerate}
\end{document}