\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Maroc juin 1963},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Maroc }}
\rfoot{\small{juin 1963}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Maroc  juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\textbf{I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit le polynôme
\[A(x) = 2(x - 3)^2 + 9 - x^2 - (3 - x)(x + 8).\]

Développer et réduire l'expression de $A(x)$.
\item En partant de l'expression initiale de $A(x)$, ni développée ni réduite, factoriser $A(x)$.
\item Simplifier

\[\dfrac{2x^2 - 7x + 3}{3x^2 - 27}.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II}

\medskip

Pour parcourir une distance donnée, un voyageur peut utiliser une automobile A, avec laquelle il roulerait à la vitesse moyenne de $60$ km/h, ou une automobile B, avec laquelle il roulerait, à la vitesse moyenne de $80$ km/h.

On désigne par $x$ la distance à parcourir, mesurée en kilomètres, et par $y$ le temps nécessaire à ce parcours, mesuré en heures, minutes, secondes.

\begin{enumerate}
\item Dans le cas du choix de l'automobile A, former la relation entre $x$ et $y$, sachant que le voyageur part à \og zéro heure \fg.
\item Dans le cas du choix de l'automobile B, former la relation entre $x$ et $y$, sachant que le voyageur part à 2 heures.
\item Représenter graphiquement les deux relations.
\item En utilisant cette représentation graphique, indiquer, suivant la distance à parcourir, dans quel cas il est plus rapide d'utiliser l'automobile A, dans quel cas il est plus rapide d'utiliser B, dans quel cas le choix est indifférent.

Justifier les conclusions.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un trapèze ABCD, dans lequel on a

\begin{center}$\widehat{\text{A}} = \widehat{\text{D}} = 90\degres$ ;\quad AB $= 3$ ;\quad AD $= 4$ ;\quad  DC$ = 5$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BD.
\item Calculer BC.
\item Nature du triangle BDC.
\item Soit I le milieu de [BC].

Montrer que I est sur la médiatrice de [AD].

Nature du triangle AID.
\item Soit H la projection de B sur (CD).

Montrer que les cinq points A, B, I, H, D sont sur un même cercle.

Quel est le centre de ce cercle ?
\item En utilisant les résultats précédents, montrer que les triangles AID et BDC sont semblables.

Quel est le rapport de similitude ?
\item Montrer que [AI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAH}}$.
\end{enumerate}
\end{document}