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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Maroc}
\lfoot{\small juin 1976}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Maroc juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $A$ l'application dans $\R$ définie par

\[A(x) = \left(x - \dfrac12\right)^2 - \dfrac94.\]

	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $A(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $A(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Soit $B$ l'application dans $\R$ définie par
\[B(x) = ax^2 + bx + 1.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les réels $a$ et $b$ sachant que $B(1) = 0$ et $B(2) = 1$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\sqrt{B(x)} = 2$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction dans $\R$ définie par
\[h(x) = \dfrac{A(x)}{x + 1} - \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de cette fonction.
		\item Montrer que pour tout $x$ élément de $\mathcal{D}$,, on a
	\end{enumerate}
\[h(x) = \dfrac{3 - 2x}{x - 2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h\left(\sqrt 3 \right)$ ; on écrira ce réel sous forme d'un quotient dont le dénominateur est un entier.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $h(x) =- \dfrac53$.
	\end{enumerate}
	\item Dans un plan, muni d'un repère orthonormé \Oij, construire la représentation graphique de l'application $f$ dans $\R$, définie par :
\[\begin{array}{l c l c l}	
f(x)&=&3 - 2x&\text{pour}& x \leqslant 1,\\
f(x)&=&1 &\text{pour}&1 \leqslant x\leqslant 3,\\
f(x)&=&x - 2&\text{pour}& x \geqslant3.
\end{array}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A, B et C définis par

\begin{center}A(1~;~3),\quad B$(2~;~- 1)$\quad  et \quad C(6~;~0).\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances AB, BC et AC.
		\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle et isocèle.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point K tel que
\[\vect{\text{OA}} + \vect{\text{OC}} = 2\vect{\text{OK}}.\]

		\item Démontrer que K est le cent re du cercle $(\mathcal{C})$ passant par les points A, B et C.
	\end{enumerate}
\item Soit D le symétrique de B par rapport au point K.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point D.
		\item Démontrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un carré.
	\end{enumerate}
\item La tangente en A au cercle $(\mathcal{C})$ coupe l'axe des abscisses en E.

Calculer l'abscisse du point E.
\end{enumerate}
\end{document}