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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Maroc}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Maroc}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\textbf{I.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer les expressions
\begin{center}$A = (3x - y- 5)^2$ \qquad et  \qquad $B = (x + 3y - 5)^2$,\end{center}
puis former l'expression C = $A - B$
sous la forme d'un polynôme en $x$ et $y$ réduit et ordonné.
\item Calculer la valeur numérique de l'expression $C$ pour
\begin{center}$x = \sqrt 3 - 1$ et $y = \sqrt 3 + 1$\end{center}

Mettre les résultats sous une forme simple.

Trouver leurs valeurs approchées à $0,001$ près.
\item Mettre l'expression $C = A - B$ sous la forme d'un produit de facteurs.
\item Tracer sur un même graphique la droite $(D)$ représentée par l'équation
\[x - 2y = 0\]

et la droite $(D')$ représentée par l'équation
\[2x + y - 5 = 0.\]

On prendra 1 cm pour unité sur les deux axes $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$.

Calculer les coordonnées du point d'intersection A des droites $(D)$ et $(D')$.

Vérifier le résultat sur le graphique.
\item La droite $(D')$ coupe l'axe $y'\text{O}y$ en B.

Démontrer que le triangle OAB est rectangle et calculer les longueurs de ses côtés.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.}

\medskip

Résoudre

\[\dfrac 2x + \dfrac 3y = \dfrac{17}{12}, \qquad \dfrac1x - \dfrac1y = \dfrac{1}{12}.\]

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un triangle équilatéral ABC et la hauteur [AH] issue de A.

M est un point du segment [AB] (entre A et B) ; (CM) coupe (AH) en I.

M a été choisi de façon que les côtés des triangles AMH et IMH vérifient les relations

\[\dfrac{\text{AM}}{\text{IM}} = \dfrac{\text{MH}}{\text{IH}}  = \dfrac{\text{AH}}{\text{MH}}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des triangles AMH et IMH ?

Comparer leurs angles.
\item Que peut-on dire des triangles AMH et AIC?
\item Quelle est la nature du quadrilatère AMHC ?

En déduire la position de M sur [AB].
\item On désigne par $a$ la mesure des côtés du triangle ABC.

Calculer l'aire du triangle AIC.
\end{enumerate}
\end{document}