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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Maroc}}
\rfoot{\small{septembre 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Maroc septembre 1960\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produit de facteurs du premier degré les expressions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
A(x)& =& 4x^2 - x,\\
B(x)& =&2x^2 - x,\\
C(x)& =&\left(x^2 - 5\right)^2 - 16,\\
D(x)& =&2(x - 1)^2(x + 3) - \left(x^2 - 9\right)(x - 1).
\end{array}\]

\item Simplifier les fractions AC

\begin{center}$Y_1 = \dfrac{A(x)}{B(x)}$\qquad  et \qquad $Y_2 =\dfrac{C(x)}{D(x)}$\end{center}

(On trouvera $Y_1 =  2x + 1$,\quad  $Y_2 = x - 3$.)

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on :

\[Y_1 = 0 \:;\quad Y_2 = 0 \:;\quad  Y_1 = Y_2 \:;\quad \dfrac{Y_1}{Y_2} = \dfrac35 ?\]
\item Représenter graphiquement les fonctions $Y_1$ et $Y_2$.

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection des deux courbes représentatives ?

Tracer la courbe représentative de la fonction
\[Y_3 = Y_2 - Y_1.\]

Que dire des courbes $Y_2$ et $Y_3$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Soient un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$ et une droite $D$ extérieure à $\mathcal{C}$.

D'un point M de $D$ on mène les tangentes (MA) et (MB) au cercle $\mathcal{C}$.

On appelle K le pied de la perpendiculaire menée de O sur D.

H et I sont les points d'intersection de (AB) avec (OM) et (OK).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles OHI et OMK.

En déduire une relation entre OI, OH, OM et OK.
\item Montrer que OH $\cdot$ OM $= R^2$ (en étudiant le triangle OMB).
\item On pose OM $= k$.

Évaluer la longueur OI à l'aide de $R$ et $k$.

Que peut-on en déduire pour le point I si M se déplace sur $D$ ?
\end{enumerate}
\end{document}