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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Maroc}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Afrique 2\footnote{Bénin, Gabon, Ghana, Guinée, Mali, Maroc, Nigéria, Sénégal, Tchad} juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit l'expression $E(x) = (6x - 3)(5x - 4) - (5x - 4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E(x)$.
\item Factoriser $E(x)$.
\item Résoudre l'équation $E(x) = 0$.
\item  Calculer $E(x)$ pour $x = \dfrac34$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur un terrain rectangulaire AEFG, on a aménagé un parking carré ABCD bordé de deux allées comme l'indique le schéma ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9.5,8.5)
\psframe(0.3,0.3)(8.5,7.7)%GFEA
\psframe(0.3,7.7)(6.1,1.7)%DCBA
\uput[l](0.3,7.7){A} \uput[u](6.1,7.7){B} \uput[dr](6.1,1.7){C} \uput[l](0.3,1.7){D}
\uput[r](8.5,7.7){E} \uput[dr](8.5,0.3){F} \uput[dl](0.3,0.3){G}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6.1,6.5)(8.5,6.5)\uput[u](7.3,6.5){10 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1,0.3)(1,1.7)\uput[r](1,1){7 m}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur exacte du côté AB sachant que le carré ABCD a une aire de \np{1200}~m$^2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le périmètre du rectangle AEFG.
		\item Calculer l'aire du rectangle AEFG.
	\end{enumerate}	
	
(On exprimera chaque résultat sous la forme $a + b \sqrt 3$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
8x + 5y &=& 57\\
3x + 4y &=& 28,6
\end{array}\right.$

\item Pour $80$ dollars et $50$ marks, la banque donne en échange $570$ francs.

Pour $30$ dollars et $40$ marks elle donne $286$ francs.

Combien de francs vaut un dollar ?

Combien de francs vaut un mark ?
\item Combien de dollars vaut un mark ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un cercle $(C)$ de diamètre [AB] et de centre O.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire un point E tel que le triangle GAE soit équilatéral.
		\item Quelle est la nature du triangle AEB ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point P symétrique du point E par rapport à la droite (AB).
		\item Démontrer que le point P appartient au cercle $(C)$.
		\item Démontrer que le triangle EBP est équilatéral.
	\end{enumerate}	
\item Soit F le point diamétralement opposé au point E sur le cercle $(C)$.

Démontrer que les droites (PF) et (AB) sont parallèles.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4.5)
\psline(0.2,0.2)(3.3,0.2)(5,1.7)(2.6,3.9)(3.3,0.2)%ABCSB
\psline(2.6,3.9)(0.2,0.2)%SA
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.9,1.7)(5,1.7)%ADCA
\psline[linestyle=dashed](3.3,0.2)(1.9,1.7)(2.6,3.9)(2.6,0.95)%BDSH
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](3.3,0.2){B} \uput[r](5,1.7){C}
\uput[l](1.9,1.7){D} \uput[u](2.6,3.9){S} \uput[l](2.6,0.95){H}
\end{pspicture}
\end{center}

Un flacon a la forme d'une pyramide régulière SABCD.

Sa base est un carré dont les diagonales mesurent $12$ cm.

Sa hauteur [SH] mesure aussi $12$ cm.

AC = BD = 12 ;\quad  SH = 12.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter en vraie grandeur le triangle SAC.
		\item Calculer la valeur exacte de SA.
		\item Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{SAC}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire de la base ABCD de la pyramide.
		\item En déduire le volume de la pyramide SABCD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans un plan rapporté au repère orthonormal (O, I, J), on a représenté, en réduction, un circuit de course automobile.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3,-2)(5,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-2)(5,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(1,1)
\psline[linecolor=blue](0.5,-1.5)(-2,6)(2,6)(4,0)%ECBA
\psarc[linecolor=blue](1.5,1){2.693}{248}{338}
\psdots(0.5,-1.5)(-2,6)(2,6)(4,0)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](4,0){A(4~;~0)}
\uput[ur](2,6){B(2~;~6)}
\uput[ul](-2,6){C$(-2~;~6)$}
\uput[dl](0.5,-1.5){E$\left(- \dfrac12~;~- \dfrac32\right)$}
\uput[u](1.5,1){K$\left(\dfrac32~;~1\right)$}
\uput[dr](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
\psline[linestyle=dashed](0.5,-1.5)(1.5,1)(4,0)%EKA
\rput{-112}(1.5,1){\psframe(0.25,0.25)}
\end{pspicture}
\end{center}

L'unité graphique est le centimètre. Le circuit est en traits pleins bleus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point E appartient à la droite (OC).
		\item Placer le point D, départ de la course, symétrique de E par rapport à O et calculer ses coordonnées.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{CB}}$.

Que peut-on en déduire pour le quadrilatère OABC ?
\item Calculer la longueur (arrondie au millimètre), sur le dessin, de l'arc $\widearc{\text{AE}}$ qui est un quart de cercle de centre K.
\item Aux essais, le meilleur temps pour faire un tour de circuit a été de 1 min 30 s, à la vitesse moyenne de $180$~km/h.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la longueur réelle du circuit?
		\item Pour être qualifié, il faut réaliser, sur un tour, un temps qui ne dépasse pas 107\,\% du meilleur temps.
		
Est-on qualifié avec un temps de 1~min~37~s ?
	\end{enumerate}
\item Pour éviter une vitesse excessive, on remplace la partie [CD] du circuit par [CG] et [GD] où la droite (CG) est perpendiculaire à la droite (OI) et la droite (GD) perpendiculaire à la droite (OC).
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le schéma.
		\item Déterminer l'équation de la droite (CG), puis celle de la droite (GD).
		\item En déduire les coordonnées du point G.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}