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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Mayenne}
\lfoot{\small juin 1983}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Mayenne juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit l'application $f$, définie dans $\R$ par 

\[f(x)= (x - 4)(2x - 3) - (2x - 3)^2 + 4x^2 - 9.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f(-2),\: f\left(\dfrac23\right)$ et $f\left(3 \sqrt 2  - 1\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre, dans $\R$, l'équation

\[\dfrac{x-3}{2} - \dfrac{6 - x}{4} = \dfrac{2x}{3} -  \dfrac{8x - 13}{4}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} construire les représentations graphiques des applications $g$ et $h$ respectivement définies, dans $\R$, par

\begin{center}$g(x)= -3x + 2$\quad et \quad $h(x) = x - 2$.\end{center}

Déterminer graphiquement puis par le calcul, les coordonnées du point d'intersection de ces deux représentations.

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, soient les
trois points

\begin{center}A$(-4~;~+3)$,\quad B$(-6~;~-1)$\quad  et \quad C(0~;~1).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.
\item Trouver les coordonnées du point D tel que
D $= t_{\vect{\text{AB}}}$(C).

En déduire la nature de ABDC.
\item Trouver les coordonnées du point I milieu de [AB] et déterminer l'équation de la médiatrice $(\Delta)$ du segment [AB].
\item Prouver que E$(0~;~-1,5)$ appartient à $(\Delta)$ et déterminer la nature du triangle AEB.
\item Démontrer que A, B, C, D appartiennent à un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
\end{enumerate}
\end{document}