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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Bassin Méditerranéen}
\lfoot{\small juin 1981}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bassin Méditerranéen\footnote{Algérie, Grèce, Italie, Libye, Maroc, Tunisie et Turquie.} juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} représenter graphiquement les applications $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définies par

\[f(x) = - 2x + 4,\qquad  g(x) = 3x - 6.\]

\item Résoudre
	\begin{enumerate}
		\item l'équation $f(x) = g(x)$,
		\item l'inéquation $f(x) > g(x)$.
		\item Retrouver les résultats obtenus en utilisant le graphique précédent.
	\end{enumerate}


\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le signe du réel $f\left(\sqrt 5\right) - g\left(\sqrt 5\right) $ ?
	
Justifier la réponse.
		\item Écrire ce réel sous la forme $A\sqrt 5 + B$ où $A$ et $B$ sont des entiers relatifs et, en utilisant l'encadrement
suivant de $\sqrt 5$ :

\[2,236 < \sqrt 5 < 2,237,\]

trouver un intervalle de la forme

\[[a \cdot 10^{-2}~;~(a + 1)\cdot 10^{-2}[,\: a\in \Z,\]

qui le contient.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan où l'on a choisi le centimètre pour unité de longueur, on se propose de tracer deux cercle sécants $C$ et $C'$, de même rayon ($R = 5$). 

On désignera leurs centres respectifs par O et O$'$ et leurs point communs par A et B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle inégalité la distance $d$(O, O$'$) doit-elle vérifier ? 

Dessiner la figure en choisissant $d$(O, O$') = 8$. 

Démontrer que la droite (OO') est la médiatrice du segment [A, B] et que la droite (AB) est la médiatrice du segment [O, O$'$].

On désigne par H le point commun aux droites (OO') et (AB) ; calculer $d$(A, H).
\item Tracer la droite perpendiculaire à la droite (AB) en B; elle recoupe le cercle $C$ en I et le cercle $C'$ en I$'$. 

Démontrer que les points A, O, I sont alignés et qu'il en est de même des points A, O$'$, I$'$.
\item Tracer une droite $(\Delta)$ passant par A ; (ne pas la choisir perpendiculaire à la droite (AB). 

Elle recoupe le cercle $C$ en M et le cercle $C'$ en M$'$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (IM) et (I$'$M$'$) sont orthogonales à la droite $(\Delta)$.
		\item On désigne par K le milieu du segment [M, M$'$]; démontrer que les droites (BK) et $(\Delta)$ sont orthogonales. 
		
En déduire l'égalité des distances $d$(B, M) et $d$(B, M$'$).
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\end{document}