\documentclass[11pt]{article}
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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=2.5cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\sfdefault}{phv}% police helvetica pour les blocs scratch.
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc}%
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Métropole Antilles-Guyane 18 septembre 2023},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2023}
\rfoot{\small Métropole Antilles-Guyane}
\lfoot{\small 18 septembre 2023}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Diplôme national du Brevet
 ~\decofourright}}\\[7pt]
{\Large \textbf{Métropole Antilles-Guyane 18 septembre 2023}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}
\medskip
%
%\emph{L'usage de calculatrice avec mode examen activé est autorisé.\\
%L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé\\
%L'utilisation du dictionnaire est interdite.}

%\vspace{0,5cm}
\framebox[15cm]
{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.}
\end{center}
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
Pour chaque question, toute  trace de  recherche  sera prise en compte dans la notation.
\end{minipage}
}
\vspace{0.5cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 1}} \hfill 20 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées.

\textbf{Une seule réponse est exacte.}

\textbf{Recopier sur la copie le} numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Questions}& \textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\ \hline
\textbf{1.~~}Citer trois diviseurs de $84$.&84, 168 et 252& 2, 3 et 4& 2, 5 et 7\\ \hline
\textbf{2.~~}La pyramide SABCD est un agrandissement de coefficient 2 de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$.

\begin{minipage}{3.75cm}Par quel nombre doit-on multiplier le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ pour obtenir le volume de la pyramide SABCD ?
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{3.75cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.5)(4,3.7)
\pspolygon(0,0)(2.7,0)(3.5,0.8)(0,3.2)%ABCSA
\psline(2.7,0)(0,3.2)%BS
\psline(0,1.6)(1.4,1.6)(1.8,2)%A'B'C'
\psline[linestyle=dotted](1.8,2)(0.4,2)(0,1.6)%C'D'A'
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0.8,0.8)(3.5,0.8)%ADC
\psline[linestyle=dotted](0.8,0.8)(0,3.2)%DS
\uput[dl](0,0){\small A} \uput[dr](2.7,0){\small B} \uput[ur](3.5,0.8){\small C}
\uput[dr](0.8,0.8){\small D} \uput[l](0,1.6){\small A$'$} \uput[dl](1.4,1.6){\small B$'$}
\uput[ur](1.8,2){\small C$'$} \uput[ur](0.4,2){\small D$'$} \uput[u](0,3.2){\small S}
\end{pspicture}
\end{minipage}&2&8&4\\ \hline
\textbf{3.~~}Quelle est la valeur de l’expression 

$x^2 + 3x - 5$ pour $x  =  - 2$ ?& $- 15$&5&$- 7$\\ \hline
\textbf{4.~~}Dans un sac opaque, on dispose de huit boules numérotées de 1 à 8.

On tire une boule au hasard.

Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de 2 ?&$\dfrac12$&
$\dfrac18$&$\dfrac15$\\ \hline
\textbf{5.~~}Le triangle DEF est l’image du triangle ABC par une homothétie de centre O. Quel est son rapport ?

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-1)(4.6,1.8)
\pspolygon(-1.1,0)(-0.6,-0.5)(-2.3,-0.5)%ACB
\pspolygon(2.2,0)(4.5,1.1)(1.1,1.1)%DEF
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0)(-1.1,0)(-0.6,-0.5)(-2.3,-0.5)(2.2,0)(4.5,1.1)(1.1,1.1)
\uput[u](-1.1,0){\small A} \uput[d](-2.3,-0.5){\small B} \uput[d](-0.6,-0.5){\small C} \uput[d](2.2,0){\small D} 
\uput[u](4.5,1.1){\small E} \uput[u](1.1,1.1){\small F} \uput[u](0,0){\small O}
\end{pspicture}&$-2$&2&$- \dfrac12$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\textbf{{\large \textsc{Exercice 2}} \hfill 14 points}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(2.1,1.9)
\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(2.1;0)(2.1;60)(2.1;120)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On souhaite tracer le losange ci-dessus de côté $50$ pas à l’aide du bloc losange.

On a écrit le script ci-dessous avec le logiciel Scratch.

Recopier les lignes 3 et 6 sur la copie en les complétant.

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{losange}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{...} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{...} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{120} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
\end{center}

\item Préciser sur votre copie quelle figure est associée à chaque script 1, 2 ou 3.

Aucune justification n’est demandée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
Figure A &Figure B& Figure C\\ \hline
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(6.1,1.9)
\def\los{\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(2.1,0)(1.2,1.8)(-0.9,1.8)}
\multido{\n=-3.0+3}{4}{\rput(\n,0){\los}}
\end{pspicture}&
\psset{unit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(7.6,5)
\def\los{\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(2.1,0)(1.2,1.8)(-0.9,1.8)}
\multido{\n=-3+2.1,\na=-0.5+1.0}{4}{\rput(\n,\na){\los}}
\end{pspicture}&
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(5,3.9)
\def\los{\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(2.1,0)(1.2,1.8)(-0.9,1.8)}
\multido{\n=-2.0+2.1}{4}{\rput(\n,0){\los}}
\end{pspicture}\\
Script 1 &Script 2 &Script 3\\
\begin{scratch}
\blockinit{Quand \ovalnum{1} est pressé}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{-220} y: \ovalnum0}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{\selectmenu{90}} degrés}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmove{losange}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
}
\end{scratch}&
\begin{scratch}
\blockinit{Quand \ovalnum{2} est pressé}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{-220} y: \ovalnum0}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{\selectmenu{90}} degrés}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmove{losange}
\blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas}
}
\end{scratch}&
%\begin{scratch}
%\blockinit{Quand \ovalnum{3} est pressé}
%\blockmove{aller à x: \ovalnum{-220} y: \ovalnum0}
%\blockmove{s'orienter à \ovalnum{\selectmenu{90}} degrés}
%\blockpen{effacer tout}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
%{\blockmove{losange}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
%\blockmove{ajouter \ovalnum{30} à y}
%}
%\end{scratch}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\item  Dans la figure ci-dessous obtenue par le programme associé, décrire une transformation qui permet d’obtenir le losange ABCD à partir du losange EDCF.

Préciser ses caractéristiques.

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\begin{minipage}{7cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.8)(2.8,2.8)
\def\los{\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(1.4;0)(2.42488;30)(1.4;60)}
\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(0,0){\los}}
\uput[u](2.42488;90){A} \uput[ur](1.4;60){B} \uput[d](0,-0.1){C}
\uput[ul](1.4;120){D} \uput[ul](2.42488;150){E} \uput[l](1.4;180){F} 
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\begin{scratch}
\blockinit{Quand \greenflag est cloqué}
\blockpen{effacer tout}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum0}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
{\blockmove{losange}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}}
\end{scratch}
\end{minipage}
%\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 3}} \hfill 22 points}

\medskip

Une piscine propose deux tarifs d'entrée pour l'année 2023.

\textbf{Tarif A} : $5,90$~\euro{} l'entrée.

\textbf{Tarif B} : $4,40$~\euro{} l'entrée avec une carte d'abonnement de $30$~\euro{} valable toute l'année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix total pour $10$ entrées avec le tarif A ? 
		\item Quel est le prix total pour $10$ entrées avec le tarif B ?
	\end{enumerate}
\item  On note $f$ et $g$ les fonctions qui modélisent les prix, en euro, respectivement du tarif A et du tarif B en fonction du nombre $x$ d'entrées.

Donner l'expression de $f(x)$, puis celle de $g(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $5,90x = 4,40x + 30$.
		\item Quel est le nombre d'entrées pour lequel les tarifs A et B donnent le même prix à payer ?
	\end{enumerate}
\item On relève le nombre d'entrées par mois durant une année.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
\footnotesize Mois	&Jan.	& Fév.& Mars& Avril& Mai& Juin& Juillet& Août& Sept.& Oct.& Nov.& Déc.\\ \hline
\footnotesize 
Nombre d'entrées	&\np{12500} &\np{13700} &\np{10400} &\np{13600} &\np{12300} &\np{11700} &\np{10400} &\np{11600} &\np{10200} &\np{13800} &\np{12600} &\np{11800}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre moyen d'entrées par mois.
		\item Calculer l'étendue du nombre d'entrées par mois.
	\end{enumerate}
\item La piscine a la forme d'un pavé droit de longueur $50$~m, de largeur $25$~m et de profondeur $3$~m. En admettant qu'elle soit entièrement remplie, déterminer en m$^3$, le volume d'eau qui sera évacué pour réaliser la vidange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 4}} \hfill 20 points}

\medskip

Un funiculaire est un type de transport en commun circulant sur des rails et dont la traction est
assurée par câble. Il est généralement utilisé pour des lignes comportant des fortes pentes.

Les documents suivants permettent de répondre aux questions.

\medskip

\textbf{Document 1 : tarifs du funiculaire}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|X|m{4.5cm}|X|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Tarif individuel}& \multicolumn{2}{|c|}{Tarif de groupe à partir de 20 personnes}\\
\multicolumn{2}{|c|}{(tarif enfant accordé pour les enfants de 5 à 11 ans)}& \multicolumn{2}{|c|}{(adultes et enfants)}\\ \hline
Aller simple par adulte&8 euros		&Aller simple par adulte&7 euros\\ \hline
Aller-retour par adulte&10 euros	&Aller-retour par adulte&8,50 euros\\ \hline
Aller simple par enfant&6,50 euros	&Aller simple par enfant &5,50 euros\\ \hline
Aller-retour par enfant&8 euros		&Aller- retour par enfant&7 euros\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Document 2 : trajet du funiculaire vu de profil}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(15,5.5)
\psline(0.5,0)(10.7,0)(10.7,4)%DEB
\psline[linewidth=1.25pt](10.7,4)(6.8,2.9)(0.5,0)%BAD
\psline[linestyle=dashed](6.8,2.9)(10.7,2.9)%AC
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.3,0.6)(6.6,3.5)\rput{24.7}(3.45,2.25){448,5 m}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(11.5,2.9)(11.5,4)\uput[r](11.5,3.45){Dénivelée : 50 m}
\uput[d](8.75,2.9){\small Longueur horizontale}
\psframe(10.7,2.9)(10.4,3.2)
\uput[ul](6.8,2.9){A} \uput[u](10.7,4){B} \uput[dr](10.7,2.9){C} \uput[dl](0.5,0){D} \uput[dr](10.7,0){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Un groupe constitué de 12 adultes et de 8 enfants (âgés de 6 à 10 ans) fait un aller-retour en funiculaire.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix à payer par le groupe en utilisant le tarif individuel ?
		\item Quel est le prix à payer par le groupe en utilisant le tarif de groupe ?
		\item Déterminer le pourcentage de la réduction obtenue en appliquant le tarif groupe par rapport au tarif individuel.
	\end{enumerate}
\item Sur la première partie du trajet [DA], le funiculaire parcourt $448,5$~m en 8~min 45~s.

Quelle est sa vitesse moyenne en mètres par seconde ? 

On donnera le résultat au centième près.
\item Sur la dernière partie du trajet [AB], la pente est de 25\,\% et la dénivelée BC est de $50$~m, calculer la longueur horizontale AC.
\end{enumerate}

\emph{Définition} : Pente $= \dfrac{\text{Dénivelée}}{\text{Longueur horizontale}}$

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 5}} \hfill 24 points}

\medskip

\emph{La figure ci-dessous n'est pas à l'échelle}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(12,7.4)
%\psgrid
\pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(9.3,0)(2.2,5)%BCA
\psline[linewidth=1.25pt](2.2,5)(2.2,0)%AH
\psline[linewidth=1.25pt](1.03,2.4)(5.9,2.4)%MN
\psframe(2.2,0)(2.5,0.3)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(-1,0.45)(0,2.85)\rput{67.4}(-0.65,1.85){2,5 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0,2.85)(1.2,5.45)\rput{67.4}(0.35,4.35){2,7 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3,6)(10.1,1)\rput{-35.15}(6.55,3.75){8,5 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0,-0.8)(2.2,-0.8)\uput[d](1.1,-0.8){2 cm}
\uput[u](2.2,5){A} \uput[l](1.03,2.4){M} \uput[ur](5.9,2.4){N}
\uput[dl](0,0){B} \uput[d](2.2,0){H} \uput[dr](9.3,0){C}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans le triangle ABC ci-dessus, M est un point du côté [AB], N est un point du côté [AC], et H est un point du côté [BC] ; les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

On donne :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~] AC $= 8,5$~cm ;
\item[$\bullet$~~] AM $= 2,7$~cm;
\item[$\bullet$~~] MB $= 2,5$~cm;
\item[$\bullet$~~] BH $= 2$~cm.
\end{itemize}

On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB.
\item Montrer que la longueur AH est égale à $4,8$~cm.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACH}}$. Arrondir au degré près.
\item Calculer la longueur HC. Arrondir au cm près.
\item Un élève affirme que: \og AN est inférieure à $4$~cm.\fg. A-t-il raison ? 
\item Calculer l'aire du triangle AHC.
\end{enumerate}
\end{document}