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%\DeclareUnicodeCharacter{0301}{~}
%Tapuscrit : François Kriegk et Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Brevet},
	pdftitle = {Métropole Antilles-Guyane 26 juin 2023},
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\begin{document}
	\setlength\parindent{0mm}
	\lhead{\small L'année 2023}
	\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
	\rfoot{\small Métropole  Antilles-Guyane }
	\lfoot{\small 26 juin 2023}
	\pagestyle{fancy}
	\thispagestyle{empty}
	\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Métropole Antilles-Guyane 26 juin 2023 \decofourright}}
	\end{center}

	\bigskip

%%%%%%%%
{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}}

\medskip

Un opticien vend différents modèles de lunettes de soleil.

Il reporte dans le tableur ci-dessous des informations sur cinq modèles vendus pendant l'année 2022.

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
	 & \textsf{A} & \textsf{B} & \textsf{C} & \textsf{D} & \textsf{E} & \textsf{F} & \textsf{G}\\ \hline
 	\textsf{1} & \textbf{Lunettes de soleil} & \textbf{Modèle 1} & \textbf{Modèle 2} & \textbf{Modèle 3} & \textbf{Modèle 4} & \textbf{Modèle 5} & \textbf{Total}\\ \hline
	\textsf{2} & \textbf{Nombre de paires de lunettes vendues} & \np{1200} & 950 & 875 & 250 & 300 & \\ \hline
	\textsf{3} & \textbf{Prix à l'unité en euro} & 75 & 100 & 110 & 140 & 160 & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Montrer que l'étendue des prix de ces paires de lunettes de soleil est de 85 euros.

	\item \begin{enumerate}
		\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule G2 pour calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en 2022 ?
		\item Calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en 2022.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Calculer le montant total, en euros, des ventes des paires de lunettes de soleil en 2022.
		\item Calculer le prix moyen d'une paire de lunettes de soleil vendue en 2022 , arrondi au centime près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{5mm}

%%%%%%%%
{\large \textbf{Exercice 2 \hfill20 points}}

\bigskip

Sur la figure ci-dessous :

\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
	\item BCDE est un rectangle, BAE est un triangle rectangle en A ;
	\item la perpendiculaire à la droite (CD) passant par A coupe cette droite en H;
	\item les droites (AE) et (CD) se coupent en F.
\end{itemize}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=7mm,y=7mm]
	\draw[line width=1pt] (0,0) node[below left]{C}--
		(12.6,0.) node[below right] {F}--
		(2.52,7.56) node[pos = 0.28, sloped]{|||} node[above]{A}--
		(0.,4.2)node[pos = 0.5, sloped]{||} node[above left]{B} --cycle node[pos = 0.5, sloped]{||}
		(0.,4.2) -- (7.,4.2)node[pos = 0.5, sloped]{|||} node[above right]{E} -- (7.,0.) node[below right]{D}
		(2.52,0.) node[below] {H} -- (2.52,7.56);
		\foreach \x/\y in {0/0 , 2.52/0, 6.6/0, 6.6/3.8, 0/3.8}
			\draw[shift={(\x,\y)}] (0,0) rectangle (0.4,0.4) ;
		\draw[shift={(2.52,7.56)},rotate=143.13] (0,0) rectangle (-0.4,0.4) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}

On donne :
\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
	\item $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=4,2 \mathrm{~cm}$;
	\item $\mathrm{EB}=\mathrm{EF}=7 \mathrm{~cm}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du rectangle BCDE est égale à \np[cm^2]{29,4}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la longueur AE est égale à \np[cm]{5,6}.
		\item Calculer l'aire du triangle rectangle ABE.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (ED) et (HA) sont parallèles.
		\item Calculer la longueur AH.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{5mm}

{\large \textbf{Exercice 3 \hfill20 points}}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées.

\textbf{Une seule réponse est exacte.}

\textbf{Recopier sur la copie} le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
	\centering\textbf{Question}& \textbf{Réponse A}& \textbf{Réponse B}& \textbf{Réponse C}\\ \hline
\textbf{1.} Dans une classe de 25 élèves, $60 \%$ des élèves sont des filles.

	Combien y a-t-il de filles dans cette classe ?
	& 10 & 15 & 20 \\ \hline

\textbf{2.} Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 126 ?
	& $2 \times 9 \times 7$ & $2^2 \times 5^2 + 2 \times 13$ &$2 \times 3^2 \times 7$ \\ \hline

\textbf{3.} Dans un sac, il y a 17 jetons rouges, 23 jetons jaunes et 20 jetons bleus, tous indiscernables au toucher. On tire au hasard un jeton du sac.

	Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton rouge ou un jeton jaune?
	&$\dfrac{2}{3}$ & 0,6 & $\dfrac{17}{23}$  \\ \hline

\textbf{4.} Sur l'octogone régulier ci-dessous, quelle est l'image du segment [DC] par la rotation de centre O qui transforme A en D?

	\hfill~	\begin{tikzpicture}[]
		\foreach \a/\n in {1/A, 2/B, 3/C, 4/D, 5/E, 6/F, 7/G, 8/H}
			\draw (0,0)--(-100+45*\a:1.5) node[shift={(-100+45*\a:0.3)}]{\n}--(-55+45*\a:1.5);
		\node at (-0.1,-0.2){O};
	\end{tikzpicture}\hfill~
	& [GE] & [GF] & [AH]\\ \hline

\textbf{5.} Quel est le volume d'un pavé droit de hauteur \np[m]{1,5} et de base rectangulaire de \np[m]{2} de longueur et \np[m]{1,3} de largeur ?

{\small \emph{On rappelle que $\np[m^3]{1}=\np[L]{1000}$.}}
	&\np[m^3]{2,6} & \np[L]{3900}& \np[L]{3000} \\ \hline
\end{tabularx}


\vspace{5mm}
%%%%%%%%
{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}}

\bigskip

On veut fabriquer un escalier en bois de hauteur \np[cm]{272}.

La figure ci-dessous représente une vue de profil de cet escalier.

La hauteur d'une marche est de \np[cm]{17}.

La profondeur d'une marche pour poser le pied mesure \np[cm]{27}.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap = round,>=stealth,x =8mm]
        \draw[dashed] (0,0)--(-1,0) (0,0.8)--(-1,0.8) ;
        \draw[<->] (-1,0)--(-1,0.8) node[pos=0.5,left, text width=2cm,align=center]{Hauteur d'une marche} ;
        \draw[dashed] (0,0.8)--(0,3) (1.6,0.8)--(1.6,3) ;
\draw[<->] (0,3)--(1.6,3) node[pos=0.5,above, text width=2cm,align=center]{Profondeur d'une marche} ;
        \draw[dashed] (10.8,0)--(11.8,0) (10.8,5.4)--(11.8,5.4) ;
        \draw[<->] (11.8,0)--(11.8,5.4) node[pos=0.5,right, text width=2cm,align=center]{Hauteur de l'escalier} ;
        \draw (4.8,2.4)--(0,0)node[below left]{A}--(10.8,0)node[below right]{B}--(10.8,5.4)node[above right]{C}--(9.2,4.6) ;
        \draw[dotted] (4.8,2.4)--(9.2,4.6) ;
        \draw[line width=1pt] (0,0)--(0,0.8)--(1.6,0.8)--
        (1.6,1.6)--(3.2,1.6)--(3.2,2.4)--(4.8,2.4)
        (9.2,4.6)--(9.2,5.4)--(10.8,5.4);
        \draw[dotted, line width=1pt] (4.8,2.4)--(4.8,3.2)--(6.4,3.2)
        (9.2,4.6)--(7.6,4.6)--(7.6,3.8);
        \draw (10.8,0) rectangle ++(-4mm,4mm);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il faut prévoir 16 marches pour construire cet escalier.
		\item Montrer que la longueur AB est égale à \np[cm]{432}.
	\end{enumerate}
	\item Pour permettre une montée agréable, l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$ doit être compris entre $25^{\circ}$ et $40^{\circ}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$, arrondie au degré près.
		\item L'escalier permet-il une montée agréable ?
	\end{enumerate}
	\item \begin{minipage}[t]{7.5cm}
		On rédige le programme ci-contre avec le logiciel Scratch pour dessiner cet escalier.
	(\np[cm]{1} dans la réalité est représenté par 1 pas dans le programme.)

	\textbf{Recopier} les lignes $5,6,7$ et 9 \textbf{sur la copie} en les complétant.
	\end{minipage}\hfill
	\begin{scratch}[num blocks]
		\blockinit{Quand \greenflag{} est cliqué}
		\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
		\blockpen{effacer tout}
		\blockpen{stylo en position d'écriture}
		\blockrepeat{répéter \ovalnum{\dots} fois}{
		\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\dots} degrés}
		\blockmove{avancer de \ovalnum{\dots} pas}
		\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
		\blockmove{avancer de \ovalnum{\dots} pas}	}
	\end{scratch}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 5 \hfill 20 points}

\medskip

Voici deux programmes de calcul.

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
Programme A &Programme B\\
$\bullet~~$ Choisir un nombre				&$\bullet~~$ Choisir un nombre\\
$\bullet~~$ Multiplier ce nombre par $-2$	&$\bullet~~$ Soustraire 5 à ce nombre\\
$\bullet~~$Ajouter 5 à ce résultat.			&$\bullet~~$ Multiplier le résultat par 3\\
											&$\bullet~~$ Ajouter 11 au résultat\\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, si on choisit $- 3$ comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est 11.
		\item Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 5,5 comme nombre de départ ?
	\end{enumerate}
	\item En désignant par $x$ le nombre de départ, on obtient $- 2x + 5$ comme résultat avec le programme A.

	Montrer, qu'avec le même nombre de départ, le résultat du programme B est égal à $3x - 4$.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.56\linewidth}
	\begin{enumerate}[resume]
		\item
		\begin{enumerate}
			\item On a représenté ci-contre les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = -2x + 5$
			et $g(x) = 3x - 4$.

			Associer, en justifiant, chaque droite à la fonction qui lui correspond.
			\item Par lecture graphique, donner, le plus précisément possible, le nombre dont l'image est la même par la fonction $f$ et la fonction $g$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.42\linewidth}
	\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
	\begin{pspicture*}(-1.02,-4)(5,7.02)
		\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
		\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-4)(5,7)
		\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{5}{x 3 mul 4 sub}\uput[dr](3.4,6){$(D_1)$}
		\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{5}{5 x 2 mul sub}\uput[ur](4.3,-4){$(D_2)$}
	\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}[start=4]
	\item Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat.
\end{enumerate}
%%%%%%%%
\end{document}