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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Brevet des collèges}
\lfoot{Métropole--La Réunion--Antilles--Guyane}
\rfoot{28 juin 2011}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Métropole La Réunion Antilles-Guyane ~\decofourright\\[5pt]28 juin 2011}}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

\parbox{0.52\linewidth}{Un dé cubique a 6 faces peintes : une en bleu, une en rouge, une en jaune, une en vert et deux en noir.
 \begin{enumerate}
\item On jette ce dé cent fois et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue. Le schéma ci-contre donne la répartition des couleurs obtenues lors de ces cent lancers. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur jaune. 
		\item Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur noire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}
	\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.15cm}\begin{pspicture}(-0.5,-5)(5,35)
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=10,Dy=5](0,0)(5,35)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.25,0)(0.75,15)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.25,0)(1.75,16)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.25,0)(2.75,20)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.25,0)(3.75,19)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.25,0)(4.75,30)
\uput[d](0.5,0){bleu} \uput[d](1.5,-0.5){rouge} \uput[d](2.5,0){jaune} \uput[d](3.5,-0.2){vert} \uput[d](4.5,0){noir} 
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}	 
\item[\textbf{2.}] On suppose que le dé est équilibré. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur jaune? 
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur noire? 
	\end{enumerate}
\item[\textbf{2.}] Expliquer l'écart entre les fréquences obtenues à la question 1 et les probabilités trouvées à la question 2.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip

On fabrique des bijoux à l'aide de triangles qui ont tous la même forme. Certains triangles sont en verre et les autres sont en métal.
 
Trois exemples de bijoux sont donnés ci-dessous. Les triangles en verre sont représentés en blanc ; ceux en métal sont représentés en gris.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(10,4.5)
%\psgrid
\pspolygon(3,3.25)(4.25,3.25)(3.,4.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.75,3.25)(7,3.25)(5.75,4.5)
\def\motif{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.25,0)(1.25,1.25)}
\def\motifa{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.25,0)(0,0)(0,1.25)}
\psframe(0,0)(2.5,2.5)
\rput(3.6,2.9){verre}\rput(6.5,2.9){métal}
\multido{\n=0+90}{4}{\rput{\n}(1.25,1.25){\motif}}
\rput(1.25,-0.4){Bijou \no 1}
\psframe(3.5,0)(6,2.5)\rput(4.75,1.25){\motifa}\rput{180}(4.75,1.25){\motifa}
\psline(4.75,0)(6,1.25)\psline(3.5,1.25)(4.75,2.5)\rput(4.75,-0.4){Bijou \no 2}
\psframe(7.5,0)(10,2.5)\rput(8.75,1.25){\motif}\rput(7.5,1.25){\motif}\rput(7.5,0){\motif}
\psline(8.75,0)(10,1.25)\rput(8.75,-0.4){Bijou \no 3}
\end{pspicture} 
\end{center} 

Tous les triangles en métal ont le même prix. Tous les triangles en verre ont le même prix.

Le bijou \no 1 revient à 11~\euro{} ; le bijou \no 2 revient à 9,10~\euro.
 
À combien revient le bijou \no 3 ?
 
\textbf{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Deux affirmations sont données ci-dessous.
 
\textbf{Affirmation 1}
 
Pour tout nombre $a$ : $(2a + 3)^2 = 4a^2 + 9$.
 
\textbf{Affirmation 2}
 
Augmenter un prix de 20\,\% puis effectuer une remise de 20\,\% sur ce nouveau prix revient à 
redonner à l'article son prix initial.
 
Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse en \textbf{argumentant la réponse}.
 
\item Deux égalités sont données ci-dessous.
 
\textbf{Égalité 1}

$\dfrac{\sqrt{32}}{2} =  2\sqrt{2}$.
 
\textbf{Égalité 2}
 
$10^5 + 10^{-5} = 10^0$ 

Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse.
 
Si elle est vraie, \textbf{écrire les étapes des calculs} qui permettent de l'obtenir. 

Si elle est fausse, \textbf{la transformer pour qu'elle devienne vraie}. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Le dessin ci-contre représente une figure géométrique dans laquelle on sait que : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] ABC est un triangle rectangle en B. 
\item[$\bullet~~$] CED est un triangle rectangle en E. 
\item[$\bullet~~$] Les points A, C et E sont alignés. 
\item[$\bullet~~$] Les points D, C et B sont alignés. 
\item[$\bullet~~$] AB = CB = 2 cm. 
\item[$\bullet~~$] CD = 6 cm.
\end{itemize}} \hfill
\parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(8,6)
\pspolygon(0.3,3.5)(3.1,0.7)(7.8,5.4)(7.8,3.5)%DEAB
\rput{47}(3.1,0.7){\psframe(0.2,0.2)}\psframe(7.8,3.5)(7.6,3.7)
\uput[u](3.15,3.5){6~cm}\rput{90}(8,4.45){2~cm}
%C(6,3.5)
\uput[u](7.8,5.4){A} \uput[dr](7.8,3.5){B} \uput[ul](6,3.5){C} \uput[u](0.3,3.5){D} \uput[dr](3.1,0.7){E}
\psline(6.8,3.4)(7,3.6)\psline(6.9,3.4)(7.1,3.6)
\psline(7.7,4.3)(7.9,4.5)\psline(7.7,4.4)(7.9,4.6)
\rput(4,0.1){Le dessin n'est pas en vraie grandeur} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter sur la copie la figure en vraie grandeur. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ ? 
		\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{DCE}}$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer une valeur approchée de DE à $0,1$~cm près. 
\item Où se situe le centre du cercle circonscrit au triangle DCE ? Tracer ce cercle, que l'on notera $\mathcal{C}$ puis tracer $\mathcal{C}'$ le cercle circonscrit au triangle ABC. 
\item Les cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ se coupent en deux points : le point C et un autre point noté M. Les points D, A et M sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

\smallskip
 
\textbf{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dessiner un pavé droit en perspective cavalière. 
\item Un aquarium a la forme d'un pavé droit de longueur 40~cm, de largeur 20~cm et de hauteur 30~cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume, en cm$^3$, de ce pavé droit. 
		\item On rappelle qu'un litre correspond à \np{1000}~cm$^3$. Combien de litres d'eau cet aquarium peut-il contenir ?
		 
\emph{Aucune justification n'est demandée.}
	\end{enumerate} 
\item  Parmi les formules suivantes, recopier celle qui donne le volume, en cm$^3$, d'une boule de diamètre 30~cm :
  
\[\dfrac{4}{3}\times \pi \times 30^3\qquad  		4\pi \times 15^2 \qquad 	\dfrac{4}{3}\times \pi \times 15^3\] 

\parbox{0.68\linewidth}{\item Un second aquarium contient un volume d'eau égal aux trois quarts du volume d'une boule de diamètre 30~cm.
 
On verse son contenu dans le premier aquarium. À quelle hauteur l'eau monte-t-elle ? Donner une valeur approchée au millimètre.}\hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(3.4,3.1)
\psarc(1.7,1.7){1.7}{130}{410}
\psellipse(1.7,2.82)(1.2,0.4)
\end{pspicture}}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Une famille envisage d'installer une citerne de récupération d'eau de pluie. Pour pouvoir choisir une installation efficace, la famille commence par déterminer sa capacité à récupérer de l'eau de pluie. Elle estime ensuite ses besoins en eau avant de choisir une citerne.}\hfill
\parbox{0.54\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.4,0)(6,6)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.7,2.4)(0,2.4)(0,0)(7,0)(7,2.4)(6,2.4)(6,1.6)(3.7,1.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.2,2.7)(1.2,2.3)(0.5,1.9)(0.5,0.3)(2.2,0.3)(2.2,1.9)(1.6,2.3)(1.6,2.7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0.3)(2.2,1.3)%contenudelacuve
\psline[linewidth=1pt](1.7,0.9)(1.7,1.6)(2.5,1.6)
\psline[linewidth=2.5pt](1.8,1.8)(2.5,1.8)
\psframe[framearc=0.3](2.5,1.6)(3,1.9)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.4,2.3)(3.4,4.9)(6.3,4.9)(6.3,2.3)(6,2.3)(6,4.7)(3.7,4.7)(3.7,2.3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.1,2.1)(4.4,2.1)(4.4,2.3)(4.7,2.3)(4.7,2.1)(4.9,2.1)(4.9,1.9)(4.1,1.9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.7,3)(6,3.2)
\pspolygon(5.35,3.3)(5.45,3.55)(5.55,3.55)(5.65,3.3)
\pswedge(5.5,3.75){0.2}{180}{0}\psframe(5.3,3.8)(5.7,4)
\psframe(4.3,3.3)(5,3.9)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.3,3.9)(5,4)
\psline[linewidth=2.5pt](4.4,2.2)(3.8,2.2)(3.8,4.4)(5.5,4.4)(5.5,4)
\psline[linewidth=2.5pt](4.7,4.4)(4.7,4)
\pscircle(4.65,3.6){0.16}
\psline[linewidth=2.5pt](3,4.6)(3,4.4)(3.35,4.35)(3.35,2.1)(2.9,2.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3,4.7)(4.9,5.5)(6.7,4.8)(6.7,4.75)(4.9,5.45)(3,4.65)%to\^{\i}t
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.4,4.9)(6.2,4.9)(4.9,5.45)%sous-to\^{\i}t
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](3.9,4.9)(6,4.9)(4.9,5.3)%sous-to\^{\i}t
\psframe[framearc=0.3,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.6,1.9)(2.9,2.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.9,2.7)(1.9,2.8)
\psline[linewidth=1.5pt](4.1,2.05)(3.9,2.05)(3.9,1.7)(3,1.7)
\end{pspicture}}

\medskip
 
\textbf{Partie 1 - La capacité à recueillir de l'eau de pluie}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette partie il s'agit de calculer le volume d'eau de pluie que cette famille peut espérer recueillir chaque année. Dans la ville où réside cette famille, on a effectué pendant onze années un relevé des précipitations. Ces relevés sont donnés dans le tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Années&1999& 2000& 2001& 2002&2003&2004&2005&2006&2007&2008&2009\\ \hline 
\small Précipitations en litres 
par  mètre carré $\left(\ell/\text{m}^2\right)$&\np{1087}&990 &868&850&690&616&512&873& 810& 841& 867\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item En quelle année y a-t-il eu le plus de précipitations? Aucune justification n'est demandée. 
		\item En 2009, combien de litres d'eau sont tombés sur une surface de 5 m2 ?
	\end{enumerate} 
\item Sur les onze années présentées dans le tableau, quelle est la quantité moyenne d'eau tombée en une année ?

\parbox{0.55\linewidth}{ 
\item Calculer la surface au sol d'une maison ayant la forme d'un pavé droit 
(surmonté d'un toit) de 13,9~m de long, 10~m de large et 6~m de haut. 
\item Une partie de l'eau de pluie tombée sur le toit ne peut pas être récupérée. La famille utilise une formule pour calculer le volume d'eau qu'elle peut récupérer: 
V = P $\,\times\,$ S $\,\times\,$ 0,9}\hfill
\parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}\begin{pspicture}(6,4.5)
\psframe(0,0.8)(4.3,3)
\psline(4.3,0.8)(6,1.3)(6,3.5)(5.3,4.3)(4.3,3)
\psline(5.3,4.3)(1.2,4.3)(0,3)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 3]{<->}(0,0.5)(4.3,0.5)\uput[d](2.15,0.5){13,9~m}
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 3]{<->}(4.3,0.5)(6,1)\uput[d](5.15,0.75){10~m}
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=3pt 3]{<->}(5.3,1.1)(5.3,4.3)\uput[l](5.3,2.7){6~m}
\end{pspicture}} 

V : volume d'eau captée en litre,
 
P : précipitations en litre par mètre carré, 

S : surface au sol en mètre carré. 

Calculer ce volume en litres pour l'année 2009.
 
Montrer que 108~m$^3$ en est une valeur approchée à 1 m$^3$ près. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II - Les besoins en eau}

\medskip
 
La famille est composée de quatre personnes.
 
La consommation moyenne d'eau par personne et par jour est estimée à 115 litres.
 
\begin{enumerate}
\item Chaque jour, l'eau utilisée pour les WC est en moyenne de 41~litres par personne. Calculer le pourcentage que cela représente par rapport à la consommation moyenne en eau par jour d'une personne. 
\item On estime que 60\,\% de l'eau consommée peut être remplacée par de l'eau de pluie. Montrer que les besoins en eau de pluie de toute la famille pour une année de 365 jours sont d'environ 100~m$^3$. 
\item L'eau de pluie récupérée en 2009 aurait-elle pu suffire aux besoins en eau de pluie de la famille ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III - Le coût de l'eau}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Le graphique donné en \textbf{ANNEXE},  représente le coût de l'eau en fonction de la quantité consommée. 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant ce graphique, déterminer une valeur approchée du prix payé pour 100~m$^3$ d'eau.
		 
\emph{Aucune justification n'est demandée.} 
		\item On note $p(x)$ le prix en euros de la consommation pour $x$ mètres cube d'eau. Proposer une expression de $p(x)$ en fonction de $x$ en expliquant la démarche.
		
		\smallskip
		 
\textbf{Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.} 
		\item Au prix de la consommation vient s'ajouter le prix de l'abonnement. L'abonnement est de 50~euros par an. Représenter sur le même graphique donné en \textbf{ANNEXE} la fonction donnant le prix en euros, abonnement inclus, en fonction du volume d'eau consommé en mètres cube.
	\end{enumerate} 
\item La famille espère économiser 250~euros par an grâce à la récupération de l'eau de pluie. Elle achète une citerne 910~euros. Au bout de combien d'années les économies réalisées pourront-elles compenser l'achat de la citerne ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\Large ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{à rendre avec la copie} 

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Problème}
\end{flushleft}

%\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.065cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(-20,-75)(160,450)
\multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,400)}
\multido{\n=0+50}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(160,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=50](0,0)(160,400)
\rput(80,-30){quantité d'eau en m$^3$}
\rput{90}(-18,200){montant en euros}\rput(80,430){Coût de l'eau}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](140,350)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}