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%% Tapuscrit Jean-Paul Goualard
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Métropole, La Réunion et Mayotte}}
\rfoot{\small 25 juin 2007}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Métropole, La Réunion et Mayotte ~\decofourright\\25 juin 2007}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Aucune justification n'est demandée.

Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1.}& Quelle est l'expression développée de $(3x~+~5)^2$  ?&
$3x^2+ 25$&$9x^2+ 25$&$9x^2+30x+25$\\ \hline
\textbf{2.}&Quelle est l'expression qui est égale à $10$ si on choisit la valeur $x = 4$ ?&$x(x + 1)$&$(x + 1)(x- 2)$ & $(x + 1)^2$\\ \hline
\textbf{3.}& Quelle est la valeur exacte de $\dfrac{\sqrt{48}}{2}$  ?&$\sqrt{24}$&$3,464$&$2\sqrt{3}$\\ \hline
\textbf{4.}& Quel est le nombre qui est solution de l'équation $2x - (8+3x) = 2$ ?&$10$&$-10$&$2$\\ \hline
\textbf{5.}&En 3\up{e} A, sur 30 élèves, il y a 40\:\% de filles.
En 3\up{e} B, sur 20 élèves, il y a 60\:\% de filles. Lorsque les deux classes sont réunies, quel est le pourcentage de filles dans le groupe ?
&36\:\% de filles.&48\:\% de filles.&50\:\% de filles.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne un programme de calcul :

\begin{center}
\fbox{\parbox{8cm}{\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Choisir un nombre.
\item[$\bullet~$] Lui ajouter 4.
\item[$\bullet~$] Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.
\item[$\bullet~$] Ajouter 4 à ce produit.
\item[$\bullet~$] Écrire le résultat.
\end{itemize}}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Écrire les calculs permettant de vérifier que si l'on fait fonctionner ce programme avec le nombre $-2$, on obtient 0.

\item  Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est $5$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la  forme du carré d'un autre nombre entier (les essais doivent figurer sur la copie).
		\item  En est-il toujours ainsi lorsqu'on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item  On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.	.
ABC est un triangle tel que AB = 9 ; AC = 15 ; BC = 12.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que ABC est rectangle en B.
		\item  Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie.
	\end{enumerate}
\item  E est le point du segment [AB] tel que AE = 3.

F est le point du segment [AC] tel que AF = 5 .
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points E et F sur la figure.
		\item  Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (BC).
	\end{enumerate}
\item  Calculer l'aire du triangle AEF.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{Sur la figure ci-contre,
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC,
\item[$\bullet~$] ABC est un triangle équilatéral,
\item[$\bullet~$] le point D est le point diamétralement opposé au point B sur ce cercle.
\end{itemize}} \hfill 
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\SpecialCoor
\pscircle(0,0){2}
\psline(2;12)(2;192)
\pspolygon(2;192)(2;72)(2;-48)
\uput[d](0;0){O} \uput[ur](2;72){A} \uput[l](2;192){B} \uput[dr](2;-48){C} \uput[r](2;12){D}\rput{45}(0;0){+} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.
\item  Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABD}}$ ? Justifier.
\item  On désigne par E l' image du point D par la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$.

Démontrer que les droites (DC) et (OE) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Dans le jardin de sa nouvelle maison, M.Durand a construit une terrasse rectangulaire qu'il désire recouvrir d'un toit.

Pour cela, il réalise le croquis suivant où l'unité de longueur est le mètre.

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{
\begin{itemize}
\item  Le sol ABCD et le toit EFGH sont des rectangles.
\item  Le triangle HIE est rectangle en I.
\item  Le quadrilatère IEAB est un rectangle.
\item  La hauteur du sol au sommet du toit est HB.
\end{itemize}
On donne : AB = 2,25 ; AD = 7,5 ; HB = 5} \hfill 
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,3)
\psframe(2.5,1.5) \psline(3.6,2.8)(2.5,1.5)
\psline(2.5,0)(3.6,0.6)(3.6,2.8)(1.1,2.8)(0,1.5)%ABHGF
\psline[linestyle=dashed](2.5,1.5)(3.6,2)%EI
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.1,0.6)(1.1,2.8)%DCG
\psline[linestyle=dashed](1.1,0.6)(3.6,0.6)%CB
\uput[d](2.5,0){A} \uput[r](3.6,0.6){B} \uput[ul](1.1,0.6){C} 
\uput[l](0,0){D} \uput[ul](2.5,1.5){E} \uput[l](0,1.5){F} 
\uput[ul](1.1,2.8){G} \uput[ur](3.6,2.8){H} \uput[r](3.6,2){I}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(4,0.6)(4,2.8)
\uput[r](4,1.7 ){5} \uput[d](1.25,0){$7,5$} \uput[dr](3.05,0.3){$2,25$}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{On suppose dans cette partie que AE = 2 \begin{enumerate}
\item  Justifier que HI = 3 .
\item  Démontrer que HE = 3,75.
\item  Calculer au degré près la mesure de l'angle  du toit avec la maison.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.5,5)
\pspolygon(0.25,0)(2.5,0)(2.5,2)(0.25,5)%BAEH
\psline[linestyle=dashed](0.25,2)(2.5,2)
\psframe(0.25,0)(0.5,0.25) \psframe(2.5,0)(2.25,0.25) \psframe(0.5,2)(0.25,2.25) 
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-0.1,0)(-0.1,5)\uput[l](-0.1,2.5){5}
\uput[r](2.5,0){A}  \uput[dl](0.25,0){B}  \uput[ur](2.5,2){E}  \uput[ur](0.25,5){H}  \uput[l](0.25,2){I} \uput[d](1.375,0){$2,25$} 
\uput[r](2.5,1){2}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{Dans cette partie, on suppose que $\widehat{\text{IHE}} = 45^{\circ}$ et on désire déterminer AE.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature du triangle HIE dans ce cas ? Justifier.
\item En déduire HI puis AE.
\end{enumerate}}\hfill 
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.5,5)
\pspolygon(0.25,0)(2.5,0)(2.5,2.75)(0.25,5)%BAEH
\psline[linestyle=dashed](0.25,2.75)(2.5,2.75)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-0.1,0)(-0.1,5)\uput[l](-0.1,2.5){5}
\psline[linestyle=dashed](0.25,2.75)(2.5,2.75)
\psframe(0.25,0)(0.5,0.25) \psframe(2.5,0)(2.25,0.25) \psframe(0.5,2.75)(0.25,2.5)
\uput[r](2.5,0){A}  \uput[dl](0.25,0){B}  \uput[ur](2.5,2.75){E}  \uput[ul](0.25,5){H}  \uput[l](0.25,2.75){I} \uput[d](1.375,0){$2,25$} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{Dans cette partie, on suppose que $\widehat{\text{IHE}} = 60^{\circ}$ et on désire déterminer AE.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la valeur arrondie au cm de HI.
\item  En déduire la valeur arrondie au cm de AE.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.5,5)
\pspolygon(0.25,0)(2.5,0)(2.5,3.7)(0.25,5)%BAEH
\uput[r](2.5,0){A}  \uput[dl](0.25,0){B}  \uput[ur](2.5,3.7){E}  \uput[ul](0.25,5){H}  \uput[l](0.25,3.7){I} \uput[d](1.375,0){$2,25$} 
\psline[linestyle=dashed](0.25,3.7)(2.5,3.7)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-0.1,0)(-0.1,5)\uput[l](-0.1,2.5){5}
\psarc(0.25,5){0.5cm}{-90}{-30} \uput[dr](0.5,4.5){$60^{\circ}$}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie 4}

\medskip

La courbe ci-dessous représente la hauteur AE en fonction de la mesure de l'angle $\widehat{\text{IHE}}$.

\bigskip

\psset{xunit=0.14cm,yunit=1.4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6,-0.5)(80,4.2)
\multido{\n=0+5}{17}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](\n,0)(\n,4)}
\multido{\n=0.0+0.5}{9}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,\n)(80,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=0.5]{->}(0,0)(80,4.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=0.5](0,0)(80,4.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{30}{66}{5 2.25 x cos mul x sin div sub}
\uput[d](40,-0.35){Angle $\widehat{\text{IHE}}$ en degrés}
\rput{90}(-6,2){Longueur AE en cm}
\end{pspicture}

\bigskip

M. Durand souhaite que la hauteur AE soit comprise entre 3 m et 3,5 m.

En utilisant le graphique, donner une mesure possible de l'angle $\widehat{\text{IHE}}$.
\end{document}