\documentclass[11pt]{article}
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% sujet aimablement fourni par Orane Jammet-Reynal
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Nantess juin 1994},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2022}
\rfoot{\small Métropole Antilles-Guyane (secours)}
\lfoot{\small 30 juin 2022}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Diplôme national du Brevet
 ~\decofourright}}\\[6pt]
{\Large \textbf{Métropole  Antilles-Guyane\hspace{1.5em}Sujet de secours 30 juin 2022}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}
\medskip

\vspace{0,5cm}
\framebox[16cm]{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.}
\end{center}
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la 
recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.
\end{minipage}
}
\vspace{0.75cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 1}} \hfill 20 points}

\medskip

Voici cinq affirmations. Pour chacune d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.\index{Vrai-Faux}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Lors d'une fête foraine, un stand propose de faire tourner une roue pour gagner un lot (porte-clés, ballon ou peluche). Les 8 secteurs angulaires sont de même mesure.\index{probabilité}

\textbf{Affirmation 1 :} La probabilité de l'évènement \og gagner une peluche \fg{} est égale à $\dfrac12$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.6)(2.8,3.3)
\pscircle(0,0){2.6}
\multido{\n=0+45}{8}{\psline(2.6;\n)}
\rput(1.6;22.5){Porte-clés}
\rput(1.6;67.5){Peluche}
\rput(1.9;112.5){Porte-clés}
\rput(1.8;157.5){Ballon}
\rput(1.8;202.5){Peluche}
\rput(1.9;247.5){Porte-clés}

\rput(1.6;-22.5){Peluche}
\rput(1.6;-67.5){Peluche}
\pspolygon*(-0.15,3.3)(-0.15,2.9)(-0.2,2.9)(0,2.7)(0.2,2.9)(0.15,2.9)(0.15,3.3)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=2]
\item \textbf{Affirmation 2 :} Le triangle ABC ci-dessous est un triangle rectangle.\index{Pythagore}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.8,4.3)
\pspolygon(0.6,0.3)(5.1,0.3)(0.6,3.8)%%ACB
\uput[dl](0.6,0.3){A} \uput[ul](0.6,3.8){B} \uput[dr](5.1,0.3){C}
\uput[d](2.85,0.3){6} \uput[l](0.6,2.05){4,5} \uput[ur](2.85,2.05){7,5}
\end{pspicture}
\end{center}


\item Pour son anniversaire, Chloé invite deux de ses amis, Hakim et Manon.\index{probabilité}

Quand arrive l'heure du gâteau, les trois enfants indiquent:

$\bullet~~$Hakim : \og Je souhaite en manger les $\dfrac37$ \fg{} ;

$\bullet~~$Manon: \og Cela me fait plaisir d'en manger les $\dfrac25$ \fg{} ;

$\bullet~~$Chloé: \og $\dfrac17$ du gâteau me convient parfaitement \fg.

\textbf{Affirmation 3 :}  Les trois amis ont mangé la totalité du gâteau.

\item \textbf{Affirmation 4 :}\index{développement}

\[(2x + 3)(5x - 4) - 5(3x - 2) = 10x^2 - 8x - 2\]

\item Les angles d'un triangle DEF sont tels que :

$\bullet~~$$\widehat{\text{DFE}} = 30\degres$

$\bullet~~$La mesure de l'angle $\widehat{\text{DEF}}$ est le quadruple de celle de l'angle $\widehat{\text{FDE}}$.

\textbf{Affirmation 5 :} Le triangle DEF est un triangle isocèle.\index{calcul d'angle}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 2}} \hfill 20 points}

\medskip

L'artiste français Jean Lurçat a produit dix tapisseries de surfaces différentes, exposées dans la ville d'Angers.

La surface approximative de chacune de ces tapisseries a été saisie dans la feuille de calcul ci-dessous. (source: https://musees.angers.fr)

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
1&\textbf{Nom de la tapisserie}			&\textbf{Surface (en m$^2$)}\\ \hline
2&La Grande Menace				&39,2\\ \hline
3&L'homme d'Hiroshima			&12,8\\ \hline
4&Le Grand charnier				&32,4\\ \hline
5&La Fin de tout				&10,2\\ \hline
6&L'Homme en gloire dans la paix&57,5\\ \hline
7&L'eau et le feu				&27,2\\ \hline
8&Champagne						&30,9\\ \hline
9&La Conquête de l'espace		&45,9\\ \hline
10&La Poésie					&45,4\\ \hline
11&Ornamentos sagrados			&45,4\\ \hline
12&\textbf{Total}				&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle tapisserie a la surface maximale ? On ne demande pas de justifier.
\item Vérifier que la surface médiane de ces tapisseries est égale à 35,8~m$^2$.\index{médiane}
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B12 afin de calculer la surface totale de ces
dix tapisseries ?\index{tableur}

On ne demande pas de justifier.
\item Calculer la surface moyenne de ces tapisseries.\index{moyenne}
\item Sara affirme: \og 40\% de ces tapisseries ont une surface supérieure à 45 m$^2$ \fg.\index{pourcentage}

Sara a-t-elle raison ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 3}} \hfill 20 points}

\medskip

Un club de sport propose une nouvelle formule annuelle pour ses adhérents :

\og Achat d'une carte d'adhésion à 32~\euro{} donnant droit à un tarif de 4,50~\euro{} par séance \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le coût à payer pour dix séances dans l'année avec cette formule.
\item Noé a un budget annuel de $95$~\euro{} pour se rendre dans cette salle de sport.

Combien de séances pourrait-il effectuer ?
\item On note $p$ la fonction qui, au nombre $x$ de séances pratiquées, associe le prix à payer pour $x$ séances pratiquées dans l'année.\index{fonction affine}
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression de $p(x)$.
		\item Vérifier que $p(27) = 153,5$.\index{antécédent}\index{image}
		\item Interpréter par une phrase l'égalité précédente.
\end{enumerate}
\item On s'intéresse au programme qui permet de donner le prix à payer en fonction du nombre de séances pratiquées dans cette salle de sport.\index{scratch}

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blocksensing{demander \txtbox{Choisir un nombre de séances} et attendre}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{nombre de séances} à \ovaloperator{\ovalvariable{réponse}}}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{nombre de séances}*\ovalnum{\ldots \ldots}}}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{résultat} à \ovaloperator{\ovalnum{\ldots \ldots}+\ovalvariable{resultat}}}
\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \txtbox{le prix à payer est} et \ovalvariable{résultat}} pendant \ovalnum{2} secondes}
\end{scratch}
\end{center}

Compléter sur l'ANNEXE  les lignes 4 et 5 pour que ce script corresponde au programme souhaité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 4}} \hfill 18 points}

\medskip

Le Tour de France 2021 est une compétition de cyclisme s'étant déroulée du 26 juin au 18 juillet 2021.

L'étape 5 était un contre-la-montre individuel de $27,2$~km. Le graphique ci-dessous indique le temps effectué par Tadej Pogacar en fonction de la distance parcourue sur son trajet (source : https://www.letour.fr).

\medskip

On répondra aux questions suivantes à l'aide de ce graphique reproduit en annexe.

On laissera les traits de construction éventuels sur le graphique de l'annexe.

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.15cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-5,-5)(32,43)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(32,43)
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,43)}
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,43)}
\multido{\n=0+1}{44}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(32,\n)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(32,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](27.2,32)
\uput[u](26,0){distance (en km)}\uput[r](0,42){durée (en minutes)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle distance approximative Tadej POGACAR a-t-il parcouru en 20 minutes ?\index{lecture graphique}
\item En combien de temps environ Tadej POGACAR a-t-il effectué les $27,2$ km du parcours ?
\item Le cycliste Bryan Coquard a lui aussi effectué ce contre-la-montre.

Le temps, en minutes, mis par Bryan Coquard pour parcourir la distance $x$, exprimée en km, peut être représenté par la fonction linéaire $f$ d'expression algébrique:

\[f(x) = 1,4x.\]\index{fonction linéaire}

	\begin{enumerate}
		\item Représenter la fonction $f$ sur le graphique en annexe.
		\item Lequel de ces deux coureurs a été classé avant l'autre ?
	\end{enumerate}	
\item Est-il vrai que la vitesse moyenne de Tadej Pogacar sur l'ensemble du parcours est
supérieure à $50$ km/h ? Justifier.\index{moyenne}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 5}} \hfill 22 points}

\medskip

La tour de la Vade est un monument de Carcassonne.

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Représentation schématique de la tour de la Vade (sans le toit).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth} 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.3)(1,0.4)
\psellipse(0,0)(1,0.4)
\psline(-1,0)(-1,-1.8)\psline(1,0)(1,-1.8)
\psellipticarc(0,-1.8)(1,0.4){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-1.8)(1,0.4){0}{180}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Afin de déterminer la hauteur de cette tour, Romane et Maël se sont positionnés comme indiqué sur la figure ci-dessous, et ont effectué plusieurs mesures.

L'oeil de Maël est au point M ; le segment [FG] représente Romane.

La figure n'est pas à l'échelle.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3.6)
\pspolygon(1,0.4)(8.4,0.4)(8.4,3.1)(7.1,3.1)%MCDA
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.1,0.4)(8.4,3.1)
\psline[linewidth=1.5pt](3.3,0.4)(3.3,1.45)%GF
\uput[u](7.1,3.1){A} \uput[d](7.1,0.4){B} \uput[dr](8.4,0.4){C} \uput[u](8.4,3.1){D}
\uput[ul](3.3,1.45){F} \uput[d](3.3,0.4){G} \uput[ul](1,0.4){M}
\uput[d](1,0.4){Maël}\rput{90}(3.5,0.9){\small Romane}\rput(7.75,1.75){Tour}
\psframe(3.3,0.4)(3.1,0.6)\psframe(7.1,0.4)(6.9,0.6)
\end{pspicture}
\end{center}

Les points M, F et A ainsi que les points M, G et B sont alignés.

Romane et Maël ont mesuré : MG $= 3$~m

\phantom{Romane et Maël ont mesuré : }FG $= 1,4$ m

\phantom{Romane et Maël ont mesuré : }GB $= 51$ m

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (FG) et (AB) sont parallèles.\index{Thalès}
		\item Vérifier que la hauteur AB de la tour est de $25,2$~m.
	\end{enumerate}	
\item La tour de la Vade a une base circulaire de diamètre proche de $14$~m.

Montrer que son volume est d'environ \np{3880}~m$^3$.\index{volume}
\item Romane a acheté une maquette de cette tour à l'échelle $\dfrac{1}{20}$.\index{échelle}

Quel est le volume de cette maquette, réduction de la tour de la Vade ?\index{volume}
\item La tour doit être entretenue ; il faut passer un traitement contre la moisissure sur toute sa
surface. Le coût du traitement est de $39$~\euro{} par m$^2$.

Combien va coûter le traitement de la tour ?

On rappelle que :

\begin{tabular}{|l|}\hline
Aire latérale d'un cylindre $= 2 \times \pi \times \text{rayon} \times \text{hauteur}$\\
Volume d'un cylindre $= \text{aire de la base} \times  \text{hauteur}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip

\textbf{Annexe de l'exercice 3}

\medskip

\begin{scratch}[num blocks]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blocksensing{demander \txtbox{Choisir un nombre de séances} et attendre}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{nombre de séances} à \ovaloperator{\ovalvariable{réponse}}}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{nombre de séances}*\ovalnum{\ldots \ldots}}}
\blockvariable{mettre \ovalvariable{résultat} à \ovaloperator{\ovalnum{\ldots \ldots}+\ovalvariable{resultat}}}
\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \txtbox{le prix à payer est} et \ovalvariable{résultat}} pendant \ovalnum{2} secondes}
\end{scratch}

\bigskip

\textbf{Annexe de l'exercice 4}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-5,-5)(32,43)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(32,43)
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,43)}
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,43)}
\multido{\n=0+1}{44}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(32,\n)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(32,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](27.2,32)
\uput[u](27,0){distance (en km)}\uput[r](0,42){durée (en minutes)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}