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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Métropole La Réunion ~\decofourright\\septembre 2008}}
    
\vspace{0,25cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1\hfill}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le PGCD de 240 et 375.
\item  Déterminer la fraction irréductible égale à $\dfrac{240}{375}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2\hfill }

\medskip

\begin{tabular}{|ll|}\hline
On considère le programme de calcul :&	Choisir un nombre\\
&a. Calculer le carré de ce nombre.\\
&b. Multiplier par 10.\\
&c. Ajouter 25.\\
&Écrire le résultat.\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Mathieu a choisi 2 comme nombre de départ et il a obtenu 65. Vérifier par un calcul que son résultat est exact.
\item  On choisit $\sqrt{2}$ comme nombre de départ. Que trouve-t-on comme résultat ?
\item  Clémence affirme que si le nombre choisi au départ est un nombre entier pair alors le résultat est pair. A-t-elle raison ? Justifier.
\item  Margot affirme que le résultat est toujours positif quel que soit le nombre choisi au départ. A-t-elle raison ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3\hfill }

\medskip

On a posé à des élèves de 3\up{e} la question suivante :

\og Est-il vrai que, pour n'importe quelle valeur du nombre $x$, on a : 

$5x^2 - 10x + 2 = 7x - 4$  ? \fg

\medskip

\begin{itemize}
\item  Léa a répondu: \og Oui, c'est vrai. En effet, si on remplace $x$ par 3, on a :\\
$5 \times 3^2 - 10 \times 3 + 2 = 17$ et $7  \times 3 - 4 = 17$ ».
\item Myriam a répondu : \og Non, ce n'est pas vrai. En effet, si on remplace $x$ par $0$, on a :\\
$5 \times 0^2 - 10 \times 0 + 2 = 2$ et $7 \times 0 - 4 = -4$ ».
\end{itemize}
Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée dans l'exercice. Indiquer laquelle en expliquant pourquoi.

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1\hfill }

\medskip

\parbox{0.47\linewidth}{On considère un cercle de centre A et de rayon 5~cm.\\
Soit [EF] un de ses diamètres, M le point du segment [AE] tel que 
AM = 4~cm et P un point du cercle tel que MP = 3~cm.\\
\emph{La figure n'est pas en vraie grandeur.}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7,7)
\pscircle(3.4,3.4){3.4}
\psline(7,1)(0,5.85) \psline(0,3.4)(7,3.4)\psline(6.2,1.54)(6.2,3.4)
\psline(0,0)(0,7)
\uput[ul](0,3.4){F}\uput[ul](0,5.8){T}\uput[d](3.54,3.4){A} \uput[u](6.2,3.4){M}\uput[d](6.2,1.54){P}\uput[ur](6.8,3.4){E}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle AMP est rectangle en M.
\item  On trace la tangente au cercle en F ; cette droite coupe la droite (AP) en T.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les droites (FT) et (MP) sont parallèles.
		\item  Calculer la longueur AT.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill }

\medskip

On considère un cercle de centre O et de diamètre [BC] tel que BC = 8~cm. On place sur ce cercle un point A tel que BA = 4~cm.

\begin{enumerate}
\item  Faire une figure en vraie grandeur.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
		\item  Calculer la valeur exacte de la longueur AC.
Donner la valeur arrondie de AC au millimètre près.
		\item  Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
	\end{enumerate}
\item On construit le point E symétrique du point B par rapport au point A. Quelle est la nature du triangle BEC ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Une enquête a été réalisée auprès de 170~élèves d'un collège sur l'utilisation du téléphone portable. Voici deux des questions posées dans cette enquête :\\

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{6.5cm}
Q1 : Possédez-vous un téléphone portable ?\\

Q2 : Quel abonnement avez-vous ?
\end{minipage}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Résultats obtenus à la question Q1 : possédez-vous un téléphone portable ?\\

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponses		&	Oui	&	Non\\  \hline
Nombre d'élèves	&	125	& 	45\\  \hline
\end{tabularx}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur arrondie à l'unité du pourcentage d'élèves possédant un téléphone portable.
		\item  Peut-on dire que près des trois quarts des élèves de ce collège possèdent un téléphone portable ?
	\end{enumerate}

\item Résultats obtenus à la question Q2 : quel abonnement utilisez-vous ?

\medskip

Les réponses des 125~élèves ayant un téléphone portable sont représentées dans le diagramme ci-dessous :
		
\begin{center}

\begin{pspicture}(-5,-3)(5,3)
%\psgrid
\pscircle(0;0){3cm}
\pswedge[fillstyle=crosshatch]{3}{-30}{90}
\pswedge[fillstyle=hlines]{3}{90}{205}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{3}{205}{260}
\pswedge[fillstyle=vlines]{3}{260}{330}
\rput(-3.5,2.5){Carte prépayée}
\rput(3.5,2){Compte bloqué}
\rput(3.6;23){1 heure}
\rput(3.6;-65){Forfait 1 heure}	
\rput(3.7;-130){Forfait 2 heures}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  32\:\% des 125~élèves ayant un téléphone portable ont une carte prépayée. Quel est le nombre d'élèves concernés ?
		\item  Déterminer à l'aide du diagramme une valeur approchée du nombre d'élèves ayant un compte bloqué 1~heure. Expliquer la démarche utilisée.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie II}

\bigskip

Sophie, Julie et Marie viennent d'avoir leur premier téléphone portable.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]	Julie a un compte bloqué à 20~\euro{} par mois pour une heure de communication (une fois l'heure utilisée, elle ne peut plus téléphoner jusqu'au mois suivant).
\item[$\bullet~$]	Marie a un forfait à 17~\euro{} par mois qui lui permet de téléphoner 45 minutes et ensuite chaque minute consommée est facturée 0,50~\euro.
\item[$\bullet~$]	Sophie a un abonnement de 10~\euro{} et chaque minute consommée est facturée 0,25~\euro.
\end{itemize}

Sont représentés sur le graphique de la feuille annexe

\begin{itemize}
\item  le prix payé par Julie chaque mois en fonction de sa consommation,
\item  le prix payé par Marie chaque mois en fonction de sa consommation.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Parmi les deux tracés F1 et F2, lequel représente le prix payé par Julie ?

Parmi les deux tracés F1 et F2, lequel représente le prix payé par Marie ?
\item   Par lecture graphique, préciser à partir de quelle durée exprimée en minutes le compte bloqué de Julie est moins coûteux que le forfait de Marie.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Si on désigne par $x$ la durée mensuelle en minutes de communication, donner en fonction de $x$ le prix payé chaque mois par Sophie.
		\item  Sur la feuille annexe, représenter graphiquement le prix payé chaque mois par Sophie en fonction de sa consommation.
	\end{enumerate}
\item Le mois dernier, Marie et Sophie ont payé chacune 30~\euro. Laquelle des deux a téléphoné le plus longtemps ? Justifier.
\end{enumerate}
		
\newpage
		
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.13cm,yunit=0.266cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(80,40)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(80,40)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(-5,-3)(80,40)
\psline[linewidth=2pt](0,20)(80,20)
\psline[linewidth=2pt](0,17)(45,17)(80,34.5)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](70,-4){Durée en minutes}
\rput{90}(-7,35){Prix en euros}
\uput[u](20,20){T1}\uput[d](20,17){T2}
\end{pspicture}
\end{center}		
\end{document}